5.1. 연속함수
\(f : D\) -> \( \mathbb{R} ,\) \(a \in D\) 일 때,
\(\forall \epsilon > 0\) \(: \exists \delta = \delta(\epsilon, a) > 0 ,\) \(\forall x \in D\) \(: | x – a | < \delta\) \(\wedge\) \(| f(x) – f(a) | < \epsilon\) =>
\(f\)는 “\(x = a\)에서 연속”이라고 표현합니다.
\(\exists \epsilon_0 > 0\) \(: \forall \delta > 0 ,\) \(\exists x \in D\) \(: | x – a | < \delta\) \(\wedge\) \(| f(x) – f(a) | \geq \epsilon_0\) =>
\(f\)는 “\(x = a\)에서 불연속”이라고 표현합니다.
\(f : D\) -> \(\mathbb{R} ,\) \(\forall x \in D\) \(: f(x)\) 는 연속 => \(f\)는 “\(D\)에서 연속”이라고 표현합니다.
\(f : D\) -> \(\mathbb{R} ,\) \(f\)가 \(x = a\)에서 연속 <=> \(\forall \{x_n\} \subset D\) \(: \lim_{n \to \infty}x_n = a\) \(\wedge\) \(\lim_{n \to \infty}f(x_n) = f(a)\)이 성립합니다.
\(f : D\) -> \(\mathbb{R} ,\) \(a \in D\)일 때, \(f\)가 \(x = a\)에서 불연속 <=>
\(\exists \{x_n\} \subset D\) \(: \lim_{n \to \infty} x_n = a\) \(\wedge\) \(\lim_{n \to \infty} f(x_n) \neq f(a)\)이 성립합니다.
다음은 “일방연속”(One Side Continuity)에 대해 설명한 것입니다.
\(f : D\) -> \(\mathbb{R},\) \(a \in D\)일 때,
1). \(\forall \epsilon > 0,\) \(\exists \delta > 0,\) \(\forall x \in D\) \(: 0 \leq -x + a < \delta\) \(\wedge\) \(|f(x) – f(a)| < \epsilon\) =>
\(f\) 는 \(x = a\)에서 “좌 연속 함수”(Left Continuous Function)라고 표현하고, \(\lim_{x \to a^{-}f(x) = f(a)}\)로도 표현 할 수 있습니다.
2). \(\forall \epsilon > 0,\) \(\exists \delta > 0,\) \(\forall x \in D\) \(: 0 \leq x – a < \delta\) \(\wedge\) \(|f(x) – f(a)| < \epsilon\) =>
\(f\) 는 \(x = a\)에서 “우 연속 함수”(Right Continuous Function)라고 표현하고, \(\lim_{x \to a^{+}f(x) = f(a)}\)로도 표현 할 수 있습니다.
3). \(f : D\) -> \(\mathbb{R},\) \(a \in D\)일 때, \(f\)가 \(x = a\)에서 연속 <=> \(f\)가 \(x = a\)에서 우연속 \(\wedge\) 좌연속 이 성립합니다.
\(f : D\) -> \(\mathbb{R},\) \(a \in D\)일 때,
1). \(\lim_{x \to a^{+}}f(x)\) \(= \lim_{x \to a^{-}}f(x) \neq f(a)\) =>
\(x = a\)를 \(f\)의 “제거가능한 불연속인 점”(Removable Discountinuity Point)으로 표현합니다.
2). \(\lim_{x \to a^{+}}f(x)\) \(\neq \lim_{x \to a^{-}}f(x)\) =>
\(x = a\)를 \(f\)의 “도약 불연속인 점”(Jump Discontinuity Point)으로 표현합니다.