5.1. 연속함수
f : D -> \mathbb{R} , a \in D 일 때,
\forall \epsilon > 0 : \exists \delta = \delta(\epsilon, a) > 0 , \forall x \in D : | x – a | < \delta \wedge | f(x) – f(a) | < \epsilon =>
f는 “x = a에서 연속”이라고 표현합니다.
\exists \epsilon_0 > 0 : \forall \delta > 0 , \exists x \in D : | x – a | < \delta \wedge | f(x) – f(a) | \geq \epsilon_0 =>
f는 “x = a에서 불연속”이라고 표현합니다.
f : D -> \mathbb{R} , \forall x \in D : f(x) 는 연속 => f는 “D에서 연속”이라고 표현합니다.
f : D -> \mathbb{R} , f가 x = a에서 연속 <=> \forall \{x_n\} \subset D : \lim_{n \to \infty}x_n = a \wedge \lim_{n \to \infty}f(x_n) = f(a)이 성립합니다.
f : D -> \mathbb{R} , a \in D일 때, f가 x = a에서 불연속 <=>
\exists \{x_n\} \subset D : \lim_{n \to \infty} x_n = a \wedge \lim_{n \to \infty} f(x_n) \neq f(a)이 성립합니다.
다음은 “일방연속”(One Side Continuity)에 대해 설명한 것입니다.
f : D -> \mathbb{R}, a \in D일 때,
1). \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in D : 0 \leq -x + a < \delta \wedge |f(x) – f(a)| < \epsilon =>
f 는 x = a에서 “좌 연속 함수”(Left Continuous Function)라고 표현하고, \lim_{x \to a^{-}f(x) = f(a)}로도 표현 할 수 있습니다.
2). \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in D : 0 \leq x – a < \delta \wedge |f(x) – f(a)| < \epsilon =>
f 는 x = a에서 “우 연속 함수”(Right Continuous Function)라고 표현하고, \lim_{x \to a^{+}f(x) = f(a)}로도 표현 할 수 있습니다.
3). f : D -> \mathbb{R}, a \in D일 때, f가 x = a에서 연속 <=> f가 x = a에서 우연속 \wedge 좌연속 이 성립합니다.
f : D -> \mathbb{R}, a \in D일 때,
1). \lim_{x \to a^{+}}f(x) = \lim_{x \to a^{-}}f(x) \neq f(a) =>
x = a를 f의 “제거가능한 불연속인 점”(Removable Discountinuity Point)으로 표현합니다.
2). \lim_{x \to a^{+}}f(x) \neq \lim_{x \to a^{-}}f(x) =>
x = a를 f의 “도약 불연속인 점”(Jump Discontinuity Point)으로 표현합니다.