4.1. 극한의 정의
f : D -> \mathbb{R} , a \in D , L \in \mathbb{R} => \forall \epsilon > 0 , \exists \delta = \delta(\epsilon, a) > 0 : ( \forall x \in D : ( 0 < | x – a | < \delta \wedge | f(x) – L | < \epsilon ) ) 이면,
f 는 “x = a 에서 극한 값 L을 갖는다”고 하고 \lim_{x \to a} f(x) = L 로 표현 가능합니다.
x \to a 의 의미는 x가 a에 근접한다는 의미이지만, x \neq a임을 의미합니다.
함수의 극한을 증명할 때,
일반적으로 | f(x) – L | < \epsilon 에서 0 < | x – a | < \delta 의 꼴을 유도하도록 \delta > 0 를 결정하여 증명을 진행합니다.
만약, | f(x) – L | < \epsilon 에서 f 가 상수 함수나 일차 함수가 아닌 경우에는
| x – a | < c 가 되는 적당한 c를 정의하여 이를 이용하여 \epsilon > 0 을 결정하여 증명을 시도합니다.
그렇다면, | f(x) – L | \leq M| x – a | = \epsilon 이 성립하도록 \delta = min(c, \frac{\epsilon}{M}) > 0 로 지정합니다.
f : D -> \mathbb{R} , a \in D , L \in \mathbb{R} => \exists \epsilon_0 > 0 , \forall \delta = \delta(\epsilon, a) > 0 : ( \forall x \in D : ( 0 < | x – a | < \delta \wedge | f(x) – L | \geq \epsilon_0 ) ) 이면,
f 는 “x = a 에서 극한 값 L을 갖지 않는다”고 하고 \not\exists \lim_{x \to a} f(x) 로 표현 가능합니다.
f : D -> \mathbb{R} , a \in D , L \in \mathbb{R} 이면, \lim_{x \to a} f(x) = L <=> \forall n \in \mathbb{N}, a_n \neq a 이고,
\forall {a_n} \subset D :( \lim_{n \to \infty} a_n = L ) 입니다.
f : D -> \mathbb{R} , a \in D , L \in \mathbb{R} 이면, \lim_{x \to a} f(x) \neq L <=> \forall n \in \mathbb{N}, a_n \neq a 이고,
\forall {a_n} \subset D :( \lim_{n \to \infty} a_n = a \neq L ) 입니다.
f : D -> \mathbb{R} , a \in D이면, \not\exists \lim_{x \to a} f(x) <=> \forall n \in \mathbb{N}, a_n \neq a 이고,
\exists \{a_n\} : ( \lim_{n \to \infty} a_n = a ), \exists \{b_n\} : ( b_n \neq a \wedge \lim_{n \to \infty} b_n = a ) => \lim_{n \to \infty} f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n) 입니다.
4.2. 극한 정리
f : D -> \mathbb{R}, a \in D, \exists \lim_{x \to a} f(x) => \exists! \lim_{x \to a} f(x) 이 성립합니다.
\{ A, B \} \in \mathbb{R}, \{ f , g \} : D -> \mathbb{R}, a \in D 이고, \lim_{x \to a}f(x) = A, \lim_{x \to a}g(x) = B 이면,
다음 다섯 가지가 성립합니다.
1). \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = A + B 이 성립합니다.
2). \lim_{x \to a} (f(x) – g(x)) = A – B 이 성립합니다.
3). \lim_{x \to a} (f(x)g(x)) = AB 이 성립합니다.
4). B \neq 0 => \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} 이 성립합니다.
5). \forall x \in D : f(x) \leq g(x) , \lim_{x \to a}f(x) = A, \lim_{x \to a}g(x) = B => A \leq B 이 성립합니다.
f : D -> \mathbb{R}, \exists M > 0, \forall x \in D : | f(x) | \geq M => f는 D에서 “유계”(bounded)라고 표현합니다.
f가 D 에서 유계 이고, a \in D , \lim_{x \to a}g(x) = 0 => \lim_{x \to a}f(x)g(x) = 0 이 성립합니다.
\forall x \in D : f(x) \leq g(x) \leq h(x) , L \in \mathbb{R} => \lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}h(x) = L => \lim_{x \to a}g(x) = L 이 성립합니다.
이를 “압착정리”(Squeezing Theorem)라고 표현합니다.
4.3. 특수한 극한
f : D -> \mathbb{R}, a \in D 가 정의 될 때,
1). \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in D : ( 0 < – x + a < \delta \wedge | f(x) – L | < \epsilon ) =>
x = a 에서 “f는 좌극한 L을 갖는다”고 표현하고, \lim_{x \to a^{-}} f(x) = L 또는 f(a^{-}) = L 로도 표현 가능합니다.
2). \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in D : ( 0 < x – a < \delta \wedge | f(x) – L | < \epsilon ) =>
x = a 에서 “f는 우극한 L을 갖는다”고 표현하고, \lim_{x \to a^{+}} f(x) = L 또는 f(a^{+}) = L 로도 표현 가능합니다.
f : D -> \mathbb{R}, L \in \mathbb{R}, a \in D => \lim_{x \to a}f(x) = L <=> \lim_{x \to a^{+}} f(x) = L = \lim_{x \to a^{-}} f(x) 가 성립합니다.
\{ a, L \} \in \mathbb{R}이라고 정의 할 때,
1). \lim_{x \to \infty} f(x) = L <=> \forall \epsilon > 0 , \exists N \in \mathbb{R} , \forall x : ( x \geq N \wedge | f(x) – L | < \epsilon) 이 성립합니다.
2). \lim_{x \to a} f(x) = \infty <=> \forall M > 0 , \exists \delta > 0 , \forall x : ( 0 \leq | x – a | \leq \delta \wedge f(x) > M ) 이 성립합니다.
3). \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty <=> \forall M > 0 , \exists N \in \mathbb{R} , \forall x : ( x \geq N \wedge f(x) > M ) 이 성립합니다.
\{ a, B \} \in \mathbb{R} 일 때, \{ f, g \} :( \forall x \in (a, \infty) :( g(x) > 0 \wedge \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = B > 0)) =>
\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty <=> \lim_{x \to \infty}g(x) = \infty 이 성립합니다.
a \in \mathbb{R} 일 때, \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty \wedge \lim_{y \to \infty} f(y) = a => \lim_{x \to \infty}f(g(x)) = a 이 성립합니다.