4.1. 극한의 정의
\(f : D \)->\( \mathbb{R} ,\) \( a \in D ,\) \(L \in \mathbb{R}\) => \(\forall \epsilon > 0 , \exists \delta = \delta(\epsilon, a) > 0\) \(: ( \forall x \in D : ( 0 < | x – a | < \delta \wedge | f(x) – L | < \epsilon ) )\) 이면,
\(f\) 는 “\(x = a\) 에서 극한 값 \(L\)을 갖는다”고 하고 \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) 로 표현 가능합니다.
\(x \to a\) 의 의미는 \(x\)가 \(a\)에 근접한다는 의미이지만, \(x \neq a\)임을 의미합니다.
함수의 극한을 증명할 때,
일반적으로 \(| f(x) – L | < \epsilon \) 에서 \( 0 < | x – a | < \delta \) 의 꼴을 유도하도록 \(\delta > 0\) 를 결정하여 증명을 진행합니다.
만약, \(| f(x) – L | < \epsilon \) 에서 \(f\) 가 상수 함수나 일차 함수가 아닌 경우에는
\(| x – a | < c\) 가 되는 적당한 \(c\)를 정의하여 이를 이용하여 \(\epsilon > 0\) 을 결정하여 증명을 시도합니다.
그렇다면, \(| f(x) – L | \leq M| x – a | = \epsilon\) 이 성립하도록 \(\delta = min(c, \frac{\epsilon}{M}) > 0\) 로 지정합니다.
\(f : D \)->\( \mathbb{R} ,\) \( a \in D ,\) \(L \in \mathbb{R}\) => \(\exists \epsilon_0 > 0 , \forall \delta = \delta(\epsilon, a) > 0\) \(: ( \forall x \in D : ( 0 < | x – a | < \delta \wedge | f(x) – L | \geq \epsilon_0 ) )\) 이면,
\(f\) 는 “\(x = a\) 에서 극한 값 \(L\)을 갖지 않는다”고 하고 \(\not\exists \lim_{x \to a} f(x)\) 로 표현 가능합니다.
\(f : D \)->\( \mathbb{R} ,\) \( a \in D ,\) \( L \in \mathbb{R}\) 이면, \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) <=> \(\forall n \in \mathbb{N},\) \(a_n \neq a\) 이고,
\(\forall {a_n} \subset D\) \(:( \lim_{n \to \infty} a_n = L )\) 입니다.
\(f : D \)->\( \mathbb{R} ,\) \( a \in D ,\) \( L \in \mathbb{R}\) 이면, \(\lim_{x \to a} f(x) \neq L\) <=> \(\forall n \in \mathbb{N},\) \(a_n \neq a\) 이고,
\(\forall {a_n} \subset D\) \(:( \lim_{n \to \infty} a_n = a \neq L )\) 입니다.
\(f : D \)->\( \mathbb{R} ,\) \(a \in D\)이면, \(\not\exists \lim_{x \to a} f(x)\) <=> \(\forall n \in \mathbb{N},\) \(a_n \neq a\) 이고,
\(\exists \{a_n\} \)\(: ( \lim_{n \to \infty} a_n = a ),\) \(\exists \{b_n\} \)\(: ( b_n \neq a \wedge \lim_{n \to \infty} b_n = a )\) => \(\lim_{n \to \infty} f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n)\) 입니다.
4.2. 극한 정리
\(f : D \)->\( \mathbb{R},\) \(a \in D,\) \(\exists \lim_{x \to a} f(x)\) => \(\exists! \lim_{x \to a} f(x)\) 이 성립합니다.
\(\{ A, B \} \in \mathbb{R},\) \(\{ f , g \} : D \)->\( \mathbb{R},\) \(a \in D\) 이고, \(\lim_{x \to a}f(x) = A,\) \(\lim_{x \to a}g(x) = B\) 이면,
다음 다섯 가지가 성립합니다.
1). \( \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = A + B \) 이 성립합니다.
2). \( \lim_{x \to a} (f(x) – g(x)) = A – B \) 이 성립합니다.
3). \( \lim_{x \to a} (f(x)g(x)) = AB \) 이 성립합니다.
4). \( B \neq 0 \) => \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \) 이 성립합니다.
5). \( \forall x \in D : f(x) \leq g(x) ,\) \(\lim_{x \to a}f(x) = A,\) \(\lim_{x \to a}g(x) = B\) => \( A \leq B \) 이 성립합니다.
\(f : D\) -> \(\mathbb{R},\) \(\exists M > 0, \forall x \in D\) \(: | f(x) | \geq M\) => \(f\)는 \(D\)에서 “유계”(bounded)라고 표현합니다.
\(f\)가 \(D\) 에서 유계 이고, \(a \in D ,\) \(\lim_{x \to a}g(x) = 0\) => \(\lim_{x \to a}f(x)g(x) = 0\) 이 성립합니다.
\(\forall x \in D : f(x) \leq g(x) \leq h(x) ,\) \(L \in \mathbb{R}\) => \(\lim_{x \to a}f(x) =\) \(\lim_{x \to a}h(x) = L\) => \(\lim_{x \to a}g(x) = L\) 이 성립합니다.
이를 “압착정리”(Squeezing Theorem)라고 표현합니다.
4.3. 특수한 극한
\(f : D\) -> \(\mathbb{R}, a \in D\) 가 정의 될 때,
1). \(\forall \epsilon > 0,\) \(\exists \delta > 0,\) \(\forall x \in D\) \(: ( 0 < – x + a < \delta \wedge | f(x) – L | < \epsilon )\) =>
\(x = a\) 에서 “\(f\)는 좌극한 \(L\)을 갖는다”고 표현하고, \(\lim_{x \to a^{-}} f(x) = L \) 또는 \(f(a^{-}) = L\) 로도 표현 가능합니다.
2). \(\forall \epsilon > 0,\) \(\exists \delta > 0,\) \(\forall x \in D\) \(: ( 0 < x – a < \delta \wedge | f(x) – L | < \epsilon )\) =>
\(x = a\) 에서 “\(f\)는 우극한 \(L\)을 갖는다”고 표현하고, \(\lim_{x \to a^{+}} f(x) = L\) 또는 \(f(a^{+}) = L\) 로도 표현 가능합니다.
\(f : D\) -> \(\mathbb{R},\) \(L \in \mathbb{R},\) \(a \in D\) => \(\lim_{x \to a}f(x) = L\) <=> \(\lim_{x \to a^{+}} f(x) = L = \lim_{x \to a^{-}} f(x)\) 가 성립합니다.
\(\{ a, L \} \in \mathbb{R}\)이라고 정의 할 때,
1). \(\lim_{x \to \infty} f(x) = L\) <=> \(\forall \epsilon > 0 ,\) \(\exists N \in \mathbb{R} ,\) \(\forall x : ( x \geq N \wedge | f(x) – L | < \epsilon) \) 이 성립합니다.
2). \(\lim_{x \to a} f(x) = \infty\) <=> \(\forall M > 0 ,\) \(\exists \delta > 0 ,\) \(\forall x : ( 0 \leq | x – a | \leq \delta \wedge f(x) > M ) \) 이 성립합니다.
3). \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) <=> \(\forall M > 0 ,\) \(\exists N \in \mathbb{R} ,\) \(\forall x : ( x \geq N \wedge f(x) > M ) \) 이 성립합니다.
\(\{ a, B \} \in \mathbb{R}\) 일 때, \(\{ f, g \}\) \(:( \forall x \in (a, \infty)\) \(:( g(x) > 0 \wedge \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = B > 0))\) =>
\(\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty\) <=> \(\lim_{x \to \infty}g(x) = \infty\) 이 성립합니다.
\(a \in \mathbb{R}\) 일 때, \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) \(\wedge \lim_{y \to \infty} f(y) = a\) => \(\lim_{x \to \infty}f(g(x)) = a\) 이 성립합니다.