2.1. 극한
극한을 정의하기에 앞서 먼저 수열에 대해 이해 해야 합니다.
실수공간에서 어떤 함수 \(f : ℕ -> ℝ\) 를 “수열”(Sequence)이라고 정의합니다.
이 \(f\) 를 \(f(1) = a_1, …, f(n) = a_n 으로 [ a_1, \ldots, a_n ]\) 처럼 표현 할 수 있고,
{ \(a_{n=1}^∞\) } 또는 { \(a_n\) }으로도 표현 가능합니다.
이 때, \(f( i ) = a_i\) 을 { \(a_i\) }의 “\(i\) 번째 항”이라고 표현합니다.
모든 정의 가능한 수열에 대해서 극한 값의 수렴 여부를 확인 할 수 있습니다.
\(a ∈ ℝ\) 이라 할 때, \(∀ ε > 0 , ∃ N = N( ε ) ∈ ℕ , ∀ n ≥ N => | a_n – a | < ε\) 이면,
\(\left\{ a_n \right\}\) 은 \(a\)로 “수렴한다”(Converge)고 표현하고 이를 \(\lim_{n->∞}a_n = a\) 로 나타 낼 수 있습니다.
\(a ∈ ℝ\) 이라 할 때, \(∃ ε_0 > 0 , ∀ N ∈ ℕ , ∀ n ≥ N => | a_n – a | ≥ ε_0\) 이면,
\(\left\{ a_n \right\}\) 은 “수렴하지 않는다”(Not Converge)고 표현하고 이를 \(∄\lim_{n->∞}a_n\)로 나타 낼 수 있습니다.
만약 어떤 수열이 수렴하지 않고, \(∀ ε > 0, ∀ N ∈ ℕ , ∀ n ≥ N => | a_n – a | ≥ ε\) 이면,
\(\left\{ a_n \right\}\) 은 “발산한다”(Diverge)고 표현합니다.
2.2. 극한 정리
\(∃ M > 0 , ∀ n ∈ ℕ , | a_n | ≤ M => \left\{ a_n \right\}\)을 “유계(Bounded)인 수열”이라고 표현합니다.
\(L ∈ ℝ => ∀ n ∈ ℕ , a_n ≤ b_n ≤ c_n , lim_{n->∞}a_n = lim_{n->∞}c_n = L => lim_{n->∞}b_n = L \)이고,
이를, “압착정리”(Squeezing Theorem)라고 표현합니다.
2.3. 단조수열
수열 \(\left\{ a_n \right\}\)이 정의될 때,
\(∀ n ∈ ℕ, a_n ≤ a_{n+1} => \left\{ a_n \right\}\) 을 “단조증가수열”(Monotone Increasing Sequence)이라고 표현합니다.
\(∀ n ∈ ℕ, a_n < a_{n+1} => \left\{ a_n \right\}\) 을 “순증가수열”(Strictly Increasing Sequence)이라고 표현합니다.
\(∀ n ∈ ℕ, a_n ≥ a_{n+1} => \left\{ a_n \right\}\) 을 “단조감소수열”(Monotone Increasing Sequence)이라고 표현합니다.
\(∀ n ∈ ℕ, a_n > a_{n+1} => \left\{ a_n \right\}\) 을 “순감소수열”(Strictly Increasing Sequence)이라고 표현합니다.
\(\left\{ a_n \right\}\) : 단조증가수열 ∨ \(\left\{ a_n \right\}\) : 단조감소수열 => “단조수열”(Monotone Sequence)이라고 표현합니다.
“단조수렴정리”(Monotone Convergence Theorem)의 정의는 다음과 같습니다.
1). \(\left\{ a_n \right\}\) : ( 단조증가 ∧ 위로 유계 ) => \(\left\{ a_n \right\}\) : 수렴 입니다.
2). \(\left\{ a_n \right\}\) : ( 단조감소 ∧ 아래로 유계 ) => \(\left\{ a_n \right\}\) : 수렴 입니다.
\(∀ r ∈ ℝ , ∃ \left\{a_n\right\} : ( a_n : 우리수 수열 , lim_{n->∞} a_n = r )\) 가 성립합니다. ( ∵ 유리수의 조밀성 )
\(∀ r ∈ ℝ , ∃ \left\{a_n\right\} : ( a_n : 무리수 수열 , lim_{n->∞} a_n = r )\) 가 성립합니다. ( ∵ 무리수의 조밀성 )
\(∀ n ∈ ℕ, I_n = [ a_n , b_n ] : 유계 ∧ 폐구간 ∧ I_{n+1} ⊂ I_n , \lim_{n->∞}(b_n – a_n) = 0 => ∃ c ∈ ℝ : ∩_{n=1}^∞ I_n = \left\{c\right\}\)
이를, “축소구간정리”(Nested Interval Theorem)라고 표현합니다.
(\(∩_{n=1}^k\)은 \(n = 1\) 인 수열부터 \(n = k\) 까지 모든 수열집합을 교집합 한다는 것입니다. )