0. 개요
수학은 추상적인 개념을 사용하여 추상적인 결과들을 도출해내거나 일련의 규칙들을 추상화 할 수 있습니다.
수학의 공간에서 추상적인 개념들을 구체화 하거나 표현을 하기 위해 “기호”를 사용합니다.
\(1, 2, … , 1.1, 1.2, +, -, \{\}, ℕ, x\) 등이 수학에서 “기호”로 사용됩니다.
해석학에서는 수학의 추상적인 공간에 대해서 다루기보다는 기호와 규칙들을 사용하여
또 다른 규칙을 정의하고 증명하는 방법에 대해서 다룹니다.
(수학의 추상적인 공간에 흥미가 있으시면 “추상 대수학”을 참고 해주세요)
다음은 수학에서 사용되는 표현법 중 다음 장 부터 사용되는 기호들을 나열하고 설명한 것입니다.
\(ℕ\) : 자연수 전체 집합
\(ℤ\) : 정수 전체 집합
\(ℚ\) : 유리수 전체 집합
\(ℝ\) : 실수 전체 집합
\(ℂ\) : 복소수 전체 집합
\(ℝ＼ℚ\) : 무리수 전체 집합 , 무리수는 유리수가 아닌 실수 이므로 \(ℝ – ℚ\)으로 정의되고 주로 \(ℝ＼ℚ\) 로 사용된다.
\(ℂ＼ℝ\) : 허수 전체 집합 , 허수는 실수가 아닌 복소수 이므로 \(ℂ – ℝ\)으로 정의되고 주로 \(ℂ＼ℝ\)로 사용된다.
\(∀\) : 전칭 기호, 모든 것에 대하여, 모든, 임의의, (Any, All, Every)
ex:) \(∀ x ∈ ℕ : x < x + 1\) ; 모든 자연수 집합의 원소 \(x\)에 대해 \(x < x + 1\)이 성립한다.
\(∃\) : 존재 기호, 존재 한다, …이 있다. , (Exists)
ex:) \(∃ x ∈ ℕ : x = 1\) ; \(x = 1\)이 성립하는 자연수 집합의 원소 \(x\)가 존재한다.
\(∃!\) : 고유 존재 기호, 유일 하다, (Exists Uniquely)
ex:) \(∃! x ∈ ℕ : x < 2\) ; \(x < 2\)이 성립하는 자연수 집합의 원소 \(x\)가 유일하게 존재한다.
\(\sim\) : 부정 기호, \(¬\), 논리적 부정, …이 아니다, (Not)
\(∨\) : 논리 합, (Join)
\(∧\) : 논리 곱, (Meet)
(부울 대수는 조합론에 자세하게 설명 되어 있습니다.)
\(∴\) : 논리적 귀결 기호, 그러므로, 따라서, (So)
ex:) 인간은 죽는다.
소크라테스는 인간이다.
\(∴\) 소크라테스는 죽는다. (유명한 삼단 논법)
\(∵\) : 근거 기호, 왜냐하면, (Because)
ex:) 0은 ℕ의 원소가 아니다.
\(∵\) 0은 1과 Successor(+1)로 나타낼 수 없다.
(페아노 공리는 조합론에 엄밀하게 설명 되어 있습니다.)
( \(:\) ) : 조건 제시, 그러한, …하기 위해서, (SuchThat)
ex:) \(∀ x ∈ ℕ, ∃! y ∈ ℕ : y = x + 1\) ; 모든 자연수 집합의 원소 \(x\)에 대하여 \(y = x + 1\)로 정의된 \(y\)가 자연수 집합에서
유일하게 존재한다.
\(f : X -> Y\), \(f\) 함수는 \(X -> Y\)로 정의 된다.
(또는 사상도 동일한 표현으로 사용됩니다.)
\(:=\) : 정의, “선 조건”은 “후 조건”으로 정의 될 수 있다.
\(f := X -> Y\), \(f\) 함수는 \(X -> Y\)로 정의 된다.
(또는 사상도 동일한 표현으로 사용됩니다. 사실 함수의 정의는 \(:\) 보다 \(:=\) 가 더 정확한 표현입니다.)
\(=>\) : 실질 함축, \(⇒\), \(→\), “선 조건” 이면 “후 조건” 이다, (Imply, if-Then)
ex:) \(x = 1 => x^2 = 1\) ; 만약 \(x = 1\)이면 \(x^2 = 1\)이다.
\(<=>\) : 동치, \(≡\), “선 조건의 해의 집합”과 “후 조건의 해의 집합” 이 같다, 둘은 동치이다, (Same As)
\(⊤\) : 항진, \(T\), 언제나 참이다, (Top, Verum)
\(⊥\) : 모순, \(F\), 언제나 거짓이다, (Bottom, Falsum)
\(=\) : 등호, 좌항과 우항은 같다. (Equal)
\(≠\) : 부등호, 좌항과 우항은 같지 않다. (Not Equal)
\(> , < , ≥ , ≤\) : 부등호,