해석학 0

0. 개요

수학은 추상적인 개념을 사용하여 추상적인 결과들을 도출해내거나 일련의 규칙들을 추상화 할 수 있습니다.

수학의 공간에서 추상적인 개념들을 구체화 하거나 표현을 하기 위해 “기호”를 사용합니다.

$1, 2, … , 1.1, 1.2, +, -, \{\}, ℕ, x$ 등이 수학에서 “기호”로 사용됩니다.

해석학에서는 수학의 추상적인 공간에 대해서 다루기보다는 기호와 규칙들을 사용하여
또 다른 규칙을 정의하고 증명하는 방법에 대해서 다룹니다.

(수학의 추상적인 공간에 흥미가 있으시면 “추상 대수학”을 참고 해주세요)

다음은 수학에서 사용되는 표현법 중 다음 장 부터 사용되는 기호들을 나열하고 설명한 것입니다.

$ℕ$ : 자연수 전체 집합
$ℤ$ : 정수 전체 집합
$ℚ$ : 유리수 전체 집합
$ℝ$ : 실수 전체 집합
$ℂ$ : 복소수 전체 집합
$ℝ＼ℚ$ : 무리수 전체 집합 , 무리수는 유리수가 아닌 실수 이므로 $ℝ – ℚ$으로 정의되고 주로 $ℝ＼ℚ$ 로 사용된다.
$ℂ＼ℝ$ : 허수 전체 집합 , 허수는 실수가 아닌 복소수 이므로 $ℂ – ℝ$으로 정의되고 주로 $ℂ＼ℝ$로 사용된다.

$∀$ : 전칭 기호, 모든 것에 대하여, 모든, 임의의, (Any, All, Every)
ex:) $∀ x ∈ ℕ : x < x + 1$ ; 모든 자연수 집합의 원소 $x$에 대해 $x < x + 1$이 성립한다.

$∃$ : 존재 기호, 존재 한다, …이 있다. , (Exists)
ex:) $∃ x ∈ ℕ : x = 1$ ; $x = 1$이 성립하는 자연수 집합의 원소 $x$가 존재한다.

$∃!$ : 고유 존재 기호, 유일 하다, (Exists Uniquely)
ex:) $∃! x ∈ ℕ : x < 2$ ; $x < 2$이 성립하는 자연수 집합의 원소 $x$가 유일하게 존재한다.

$\sim$ : 부정 기호, $¬$, 논리적 부정, …이 아니다, (Not)

$∨$ : 논리 합, (Join)

$∧$ : 논리 곱, (Meet)
(부울 대수는 조합론에 자세하게 설명 되어 있습니다.)

$∴$ : 논리적 귀결 기호, 그러므로, 따라서, (So)
ex:) 인간은 죽는다.
소크라테스는 인간이다.
$∴$ 소크라테스는 죽는다. (유명한 삼단 논법)

$∵$ : 근거 기호, 왜냐하면, (Because)
ex:) 0은 ℕ의 원소가 아니다.
$∵$ 0은 1과 Successor(+1)로 나타낼 수 없다.
(페아노 공리는 조합론에 엄밀하게 설명 되어 있습니다.)

( $:$ ) : 조건 제시, 그러한, …하기 위해서, (SuchThat)
ex:) $∀ x ∈ ℕ, ∃! y ∈ ℕ : y = x + 1$ ; 모든 자연수 집합의 원소 $x$에 대하여 $y = x + 1$로 정의된 $y$가 자연수 집합에서
유일하게 존재한다.
$f : X -> Y$, $f$ 함수는 $X -> Y$로 정의 된다.
(또는 사상도 동일한 표현으로 사용됩니다.)

$:=$ : 정의, “선 조건”은 “후 조건”으로 정의 될 수 있다.
$f := X -> Y$, $f$ 함수는 $X -> Y$로 정의 된다.
(또는 사상도 동일한 표현으로 사용됩니다. 사실 함수의 정의는 $:$ 보다 $:=$ 가 더 정확한 표현입니다.)

$=>$ : 실질 함축, $⇒$, $→$, “선 조건” 이면 “후 조건” 이다, (Imply, if-Then)
ex:) $x = 1 => x^2 = 1$ ; 만약 $x = 1$이면 $x^2 = 1$이다.

$<=>$ : 동치, $≡$, “선 조건의 해의 집합”과 “후 조건의 해의 집합” 이 같다, 둘은 동치이다, (Same As)

$⊤$ : 항진, $T$, 언제나 참이다, (Top, Verum)

$⊥$ : 모순, $F$, 언제나 거짓이다, (Bottom, Falsum)

$=$ : 등호, 좌항과 우항은 같다. (Equal)
$≠$ : 부등호, 좌항과 우항은 같지 않다. (Not Equal)
$> , < , ≥ , ≤$ : 부등호,