해석학 3

3.1. 부분수열

어떤 수열 \(\{a_n\}\)가 정의 되어 있을 때, 어떤 자연수 수열 \({n_k} : ( n_1 < \ldots < n_k )\) 이 존재 할 때,

\(\{a_{n_k}\}\)를 \(\{a_n\}\)의 “부분수열”(Subsequence) 이라고 표현합니다.

\(( \{a_{n_k}\} \subset \{a_n\} \), 여기서 주의할 점은 둘은 부분집합(Subset) 관계는 아닙니다. \()\)

\(a \in \mathbb{R}\) , \(\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) <=> \(\forall\{a_{n_k}\} \subset \{a_n\} : \lim_{k \to \infty}{a_{n_k}} = a \) 입니다.

( \(\{a_n\}\)이 수렴하기 위한 필요충분 조건은 모든 부분수열이 같은 값으로 수렴하는 것입니다. )

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\(\{a_n\}\) : 유계 인 수열 => \(\exists\{a_{n_k}\} \subset \{a_n\} : \lim_{k \to \infty}{a_{n_k}} = a\) 입니다.
이를 “볼차노-바이어스트라스”(Bolzano-Weierstrass Theorem) 정리라고 표현합니다.

볼차노-바이어스트라스 정리는 일반적으로 역이 성립하지 않습니다.

( 즉, \(\exists\{a_{n_k}\} \subset \{a_n\} : \lim_{k \to \infty}{a_{n_k}} = a\) => \(\{a_n\}\) 가 반드시 유계 인 수열이 아닐 수도 있습니다.)

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\( \exists\{a_{n_k}\} \subset \{a_n\} : \lim_{k \to \infty}{a_{n_k}} = a \) => 이때의 \(a\)를 \(\{a_n\}\)의 “응집점”(Cluster Point)이라고 표현합니다.

정의에 따라 응집점은 하나 또는 그 이상의 값을 가질 수 있고 또한 응집점이 존재하지 않을 수도 있습니다.

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3.2. 상극한과 하극한

\(\{a_n\}\) 이 정의 될 때,

\(\overline {\lim}_{n \to \infty} {a_n} = \limsup_{n \to \infty}{\{a_k : k \leq n\}}\) 이라 정의 한다면, 이를 \(\{a_n\}\)의 “상극한”(limit superior)이라고 표현합니다.

\(\underline {\lim}_{n \to \infty} {a_n} = \liminf_{n \to \infty}{\{a_k : k \leq n\}}\) 이라 정의 한다면, 이를 \(\{a_n\}\)의 “하극한”(limit inferior)이라고 표현합니다.

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\(\{a_n\}\) : 유계인 수열 이라 정의 할 때, \(\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) <=> \(\underline {\lim}_{n \to \infty} {a_n} = \overline {\lim}_{n \to \infty} {a_n}\) 입니다.

( 이때, \(\lim_{n \to \infty} {a_n} = \liminf_{n \to \infty} {a_n} = \limsup_{n \to \infty} {a_n}\)가 성립합니다. )

또한,

\(\limsup_{n \to \infty} {a_n} \) 은 \(\{a_n\}\)의 응집점 중에서 가장 큰 값이 됩니다.

\(\liminf_{n \to \infty} {a_n} \) 은 \(\{a_n\}\)의 응집점 중에서 가장 작은 값이 됩니다.

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\({a_n}\) : 유계인 수열 , \(\{a_{n_k}\} \subset \{a_n\}\) 이라 정의한다면,

\(\limsup_{k \to \infty} {a_{n_k}} \leq \limsup_{n \to \infty} {a_n} , \liminf_{k \to \infty}{a_{n_k}} \geq \liminf_{n \to \infty}{a_n}\) 을 성립합니다.

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3.3. 코시수열

\(\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \mathbb{N} : \)\(( \forall (m, n) \geq N : ( |a_m – a_n | < \epsilon ) )\) => \( \{a_n\} := \) “코시수열”(Cauchy Sequence) 이 성립합니다.

어떤 수열의 코시수열 여부를 따지기 위해서는 \(|a_m – a_n| < \epsilon\) 이 성립하는 \(N\)을 잘 잡아서,

만약, 정의 가능하면, 코시수열이고,

만약, 모든 \(N\)에 대해 \(|a_m – a_n| \geq \epsilon\) 으로만 성립한다면 코시수열이 아니라고 볼 수 있습니다.

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어떤 수열 \(\{a_n\}\) 이 코시수열 이면, \(\{a_n\}\) 은 유계수열이 됩니다.

또한, \(\{a_n\}\)이 수렴하는 수열이 되기 위한 필요 충분 조건은 \(\{a_n\}\) 이 코시수열 이어야 합니다.

( 즉, \(\{a_n\} := \)코시수열 <=> \(\{a_n\} := \)수렴하는 수열 )

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\(\exists b : 0 < b < 1 ,\) \(\forall n \in \mathbb{N} : |a_{n+2} – a_{n+1}| \leq b|a_{n+1} – a_n|\) 이면, \(\{a_n\}\) 은 “축소적”(Contractive)이라고 표현합니다.

\(\{a_n\}\) 이 축소적이면, \(\{a_n\}\) 은 코시수열 입니다.

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3.4. 무한 극한

\(\forall M > 0 ,\) \(\exists N = N(M) \in \mathbb{N}\) \(( N(M)\)은 \(M\)에 따라 정의된 \(N\)을 의미합니다.\() \)
\(: ( \forall n \in \mathbb{N}\) \(: ( n \geq N \wedge a_n > M )\)\()\) 이 성립하면,

\(\{a_n\}\) 은 “\(\infty\) 로 발산한다” 라고 표현하고, \(\lim_{n \to \infty} a_n = \infty\) 로 표현합니다.

\(\forall M > 0 ,\) \(\exists N = N(M) \in \mathbb{N}\) \(( N(M)\)은 \(M\)에 따라 정의된 \(N\)을 의미합니다.\() \)
\(: ( \forall n \in \mathbb{N}\) \(: ( n \geq N \wedge a_n < -M )\)\()\) 이 성립하면,

\(\{a_n\}\) 은 “\(\infty\) 로 발산한다” 라고 표현하고, \(\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty\) 로 표현합니다.

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\(\lim_{n \to \infty} {a_n} = \infty\) 이고, \(\lim_{n \to \infty} {b_n} = \infty\) 라고 정의 할 때,

\(\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \infty\) 와 \(\lim_{n \to \infty} a_nb_n = \infty\) 이 성립합니다.

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\(\lim_{n \to \infty} b_n = \infty,\) \( \forall n \in \mathbb{N} : b_n \leq a_n\) => \(\lim_{n \to \infty} a_n = \infty\) 가 성립합니다.

\(\forall n \in \mathbb{N} : a_n > 0\) => \(\lim_{n \to \infty} a_n = \infty\) 이기 위한 필요 충분 조건은 \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_n} = 0\) 입니다.

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\(\{a_n\}\) 이 유계가 아닌 단조 증가수열이면, \(\lim_{n \to \infty} a_n = \infty\) 가 됩니다.

\(\{a_n\}\) 이 단조수열이면, \(\lim_{n \to \infty} a_n\) 은 수렴하거나 \(\infty\) 또는 \(-\infty\) 로 발산합니다.

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