해석학 3

3.1. 부분수열

어떤 수열 $\{a_n\}$가 정의 되어 있을 때, 어떤 자연수 수열 ${n_k} : ( n_1 < \ldots < n_k )$ 이 존재 할 때,

$\{a_{n_k}\}$를 $\{a_n\}$의 “부분수열”(Subsequence) 이라고 표현합니다.

$( \{a_{n_k}\} \subset \{a_n\}$, 여기서 주의할 점은 둘은 부분집합(Subset) 관계는 아닙니다. $)$

$a \in \mathbb{R}$ , $\lim_{n \to \infty}{a_n} = a$ <=> $\forall\{a_{n_k}\} \subset \{a_n\} : \lim_{k \to \infty}{a_{n_k}} = a$ 입니다.

( $\{a_n\}$이 수렴하기 위한 필요충분 조건은 모든 부분수열이 같은 값으로 수렴하는 것입니다. )

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$\{a_n\}$ : 유계 인 수열 => $\exists\{a_{n_k}\} \subset \{a_n\} : \lim_{k \to \infty}{a_{n_k}} = a$ 입니다.
이를 “볼차노-바이어스트라스”(Bolzano-Weierstrass Theorem) 정리라고 표현합니다.

볼차노-바이어스트라스 정리는 일반적으로 역이 성립하지 않습니다.

( 즉, $\exists\{a_{n_k}\} \subset \{a_n\} : \lim_{k \to \infty}{a_{n_k}} = a$ => $\{a_n\}$ 가 반드시 유계 인 수열이 아닐 수도 있습니다.)

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$\exists\{a_{n_k}\} \subset \{a_n\} : \lim_{k \to \infty}{a_{n_k}} = a$ => 이때의 $a$를 $\{a_n\}$의 “응집점”(Cluster Point)이라고 표현합니다.

정의에 따라 응집점은 하나 또는 그 이상의 값을 가질 수 있고 또한 응집점이 존재하지 않을 수도 있습니다.

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3.2. 상극한과 하극한

$\{a_n\}$ 이 정의 될 때,

$\overline {\lim}_{n \to \infty} {a_n} = \limsup_{n \to \infty}{\{a_k : k \leq n\}}$ 이라 정의 한다면, 이를 $\{a_n\}$의 “상극한”(limit superior)이라고 표현합니다.

$\underline {\lim}_{n \to \infty} {a_n} = \liminf_{n \to \infty}{\{a_k : k \leq n\}}$ 이라 정의 한다면, 이를 $\{a_n\}$의 “하극한”(limit inferior)이라고 표현합니다.

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$\{a_n\}$ : 유계인 수열 이라 정의 할 때, $\lim_{n \to \infty}{a_n} = a$ <=> $\underline {\lim}_{n \to \infty} {a_n} = \overline {\lim}_{n \to \infty} {a_n}$ 입니다.

( 이때, $\lim_{n \to \infty} {a_n} = \liminf_{n \to \infty} {a_n} = \limsup_{n \to \infty} {a_n}$가 성립합니다. )

또한,

$\limsup_{n \to \infty} {a_n}$ 은 $\{a_n\}$의 응집점 중에서 가장 큰 값이 됩니다.

$\liminf_{n \to \infty} {a_n}$ 은 $\{a_n\}$의 응집점 중에서 가장 작은 값이 됩니다.

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${a_n}$ : 유계인 수열 , $\{a_{n_k}\} \subset \{a_n\}$ 이라 정의한다면,

$\limsup_{k \to \infty} {a_{n_k}} \leq \limsup_{n \to \infty} {a_n} , \liminf_{k \to \infty}{a_{n_k}} \geq \liminf_{n \to \infty}{a_n}$ 을 성립합니다.

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3.3. 코시수열

$\forall \epsilon > 0 , \exists N \in \mathbb{N} :$$( \forall (m, n) \geq N : ( |a_m – a_n | < \epsilon ) )$ => $\{a_n\} :=$ “코시수열”(Cauchy Sequence) 이 성립합니다.

어떤 수열의 코시수열 여부를 따지기 위해서는 $|a_m – a_n| < \epsilon$ 이 성립하는 $N$을 잘 잡아서,

만약, 정의 가능하면, 코시수열이고,

만약, 모든 $N$에 대해 $|a_m – a_n| \geq \epsilon$ 으로만 성립한다면 코시수열이 아니라고 볼 수 있습니다.

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어떤 수열 $\{a_n\}$ 이 코시수열 이면, $\{a_n\}$ 은 유계수열이 됩니다.

또한, $\{a_n\}$이 수렴하는 수열이 되기 위한 필요 충분 조건은 $\{a_n\}$ 이 코시수열 이어야 합니다.

( 즉, $\{a_n\} :=$코시수열 <=> $\{a_n\} :=$수렴하는 수열 )

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$\exists b : 0 < b < 1 ,$ $\forall n \in \mathbb{N} : |a_{n+2} – a_{n+1}| \leq b|a_{n+1} – a_n|$ 이면, $\{a_n\}$ 은 “축소적”(Contractive)이라고 표현합니다.

$\{a_n\}$ 이 축소적이면, $\{a_n\}$ 은 코시수열 입니다.

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3.4. 무한 극한

$\forall M > 0 ,$ $\exists N = N(M) \in \mathbb{N}$ $( N(M)$은 $M$에 따라 정의된 $N$을 의미합니다.$)$
$: ( \forall n \in \mathbb{N}$ $: ( n \geq N \wedge a_n > M )$$)$ 이 성립하면,

$\{a_n\}$ 은 “$\infty$ 로 발산한다” 라고 표현하고, $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$ 로 표현합니다.

$\forall M > 0 ,$ $\exists N = N(M) \in \mathbb{N}$ $( N(M)$은 $M$에 따라 정의된 $N$을 의미합니다.$)$
$: ( \forall n \in \mathbb{N}$ $: ( n \geq N \wedge a_n < -M )$$)$ 이 성립하면,

$\{a_n\}$ 은 “$\infty$ 로 발산한다” 라고 표현하고, $\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty$ 로 표현합니다.

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$\lim_{n \to \infty} {a_n} = \infty$ 이고, $\lim_{n \to \infty} {b_n} = \infty$ 라고 정의 할 때,

$\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \infty$ 와 $\lim_{n \to \infty} a_nb_n = \infty$ 이 성립합니다.

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$\lim_{n \to \infty} b_n = \infty,$ $\forall n \in \mathbb{N} : b_n \leq a_n$ => $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$ 가 성립합니다.

$\forall n \in \mathbb{N} : a_n > 0$ => $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$ 이기 위한 필요 충분 조건은 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_n} = 0$ 입니다.

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$\{a_n\}$ 이 유계가 아닌 단조 증가수열이면, $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$ 가 됩니다.

$\{a_n\}$ 이 단조수열이면, $\lim_{n \to \infty} a_n$ 은 수렴하거나 $\infty$ 또는 $-\infty$ 로 발산합니다.

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