미분방정식 5

5.1. 코시-오일러 방정식

미분 방정식 중에서 $a_nx^n\frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}x^{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_1x\frac{dy}{dx} + a_0y = g(x)$ 꼴의 미분 방정식을

“코시-오일러 방정식”(Cauchy-Euler Equation)이라고 표현합니다.

이 방정식의 해는 어떻게 구하면 될까요?

결론적으로 $y = x^m$의 형태로 해를 설정하고, 값을 대입한 뒤 $m$을 통한 보조 방정식을 풀고,

$y = x^m$에 대입하여 최종 결과를 도출 해내는 방식을 사용합니다.

예를들어 2차 코시-오일러 방정식은 $ax^2\frac{d^2y}{dx^2} + bx\frac{dy}{dx} + cy = 0$ 이 되는데,

해를 구하기 위해 $y = x^m$ 로 두고, 값을 계산 한다면, $ax^2(m(m-1))x^{m-2} + bx(m)x^{m-1} + cx^m = 0$이 되고,

이는, $x^m(am(m-1) + bm + c) = 0 ,$ $(am(m-1) + bm + c) = 0$ 인 보조 방정식의 해를 구하는 것과 동일한 방식임을 알 수 있습니다.

이전 보조 방정식의 해는 세 가지 경우인
1. 서로 다른 두 실근 인 경우
2. 실수 인 중근 인 경우
3. 서로 다른 두 허수인 경우
가 존재 했었고, 각 결과에 따른 $y$의 값이 결정되었습니다.

코시-오일러 방정식도 완전히 같은 방식을 사용하지만, $y$의 값이 조금 다릅니다.

먼저, 1. 서로 다른 두 실근 인 경우에는 두 실근을 $m_1, m_2$라고 한다면, 일반해 $y$ 는 $y = c_1x^{m_1} + c_2x^{m_2}$ 가 될 것입니다.

2. 실수 인 중근 인 경우에는 중근 $m$에 대하여, 일반해 $y$ 는 $y = c_1x^{m} + c_2x^{m}ln x$ 가 될 것입니다.

3. 켤레 복소수 근 인 경우에는 두 복소수 근을 $m_1, m_2$라고 한다면, 일반해 $y$ 는 $y = c_1x^{m_1} + c_2x^{m_2}$이지만,
추가로 $m_1 = \alpha + \beta i ,$ $m_2 = \alpha – \beta i$ 라고 하고, 식을 전개해보면 $y = x^{\alpha}[c_1cos(\beta ln x) + c_2sin(\beta ln x)]$ 가 될 것입니다.

3계 이상의 방정식에도 보조방정식을 활용한 기존 방식과 동일하며, 케이스에 따른 해만 위의 세 가지로 변경하면,

동일하게 적용 할 수 있습니다.

5.2. 그린 함수

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