1.1 집합
집합은 어떠한 성질을 만족하는 “대상”의 모임입니다.
여기서 “대상”은 Definable Objects로 어떤 정의가 존재하고 해당 정의에 만족하는 객체들을 말합니다.
집합은 대상들을 담는데, 이때 대상을 “원소”라고 부릅니다.
\(x\)는 집합 \(A\)에 원소이면 \(x\)는 \(A\)에 속한다고 할 수 있고 “\(x \in A\)“라고 표현 합니다.
역으로, \(x\)는 집합 \(A\)의 원소가 아니면 \(x\)는 \(A\)에 속하지 않는다고 할 수 있고 “\(x \notin A\)“라고 표현 합니다.
만약, 집합에 속한 원소가 하나도 없을 경우 해당 집합을 “공집합”이라하고 “\(\emptyset\)“, “\(\left\{ \right\}\)” 으로 표현 합니다.
집합 \(A\)와 \(B\)가 있을때 둘사이의 관계를 표현 할수도 있습니다.
\( ∀ x ∈ A : x ∈ B \) ( \(A\)의 모든 원소 \(x\)가 \(B\)의 원소이다) 이면
“\(A \subset B\)” 라고 표현 합니다.
\( ∃x ∈ A : x ∉ B \) ( \(B\)의 원소가 아닌 \(A\)원소 \(x\)가 존재한다) 이면”\(A \not\subset B\)” 라고 표현합니다
\(\left\{x | x ∈ A ∨ x ∈ B\right\}\) , (조건 제시법 \(A\)의 원소 조건 또는 \(B\)의 원소 조건에 충족되는 원소\(x\)로 이루어진 집합) 을
“\(A ∪ B\)“, “\(A\)와 \(B\)의 합집합”라고 표현 합니다.
\(\left\{x | x ∈ A ∧ x ∈ B\right\}\) , (조건 제시법 \(A\)의 원소 조건 과 \(B\)의 원소 조건에 충족되는 원소\(x\)로 이루어진 집합) 을
“\(A ∩ B\)“, “\(A\)와 \(B\)의 교집합”라고 표현 합니다.
\(\left\{x | x ∈ A ∧ x ∉ B\right\}\) , (조건 제시법 \(A\)의 원소 조건 과 \(B\)의 원소가 아닌 조건에 충족되는 원소\(x\)로 이루어진 집합) 을
“\(A – B\)“, “\(A\)와 \(B\)의 차집합”라고 표현 합니다.
\(A ∩ B = \emptyset\) 이면, \(A\)와 \(B\)는 “서로소”(Disjoint)라 표현 합니다.
집합의 합”\(∪\)” 은 교환 법칙\(( A ∪ B )\), 결합 법칙 \(( A ∪ ( B ∪ C ) ) = ( ( A ∪ B ) ∪ C )\),
이 성립합니다.
집합의 교”\(∩\)“는 교환 법칙\(( A ∩ B )\), 결합 법칙 \(( A ∩ ( B ∩ C ) ) = ( ( A ∩ B ) ∩ C )\),
이 성립합니다.
임의의 세 집합 \(A, B, C\)에 대해
1) \(A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )\)
2) \(A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )\)
조건 1), 2)가 반드시 성립합니다. ( 1) ∧ 2) = True)
이를 집합의 “분배법칙”이라고 표현합니다.
\(A^c = U(전체 집합) – A\) : 기호를 “여집합”으로 사용한다면,
1) \(( A ∪ B )^c = A^c ∩ B^c\)
2) \(( A ∩ B )^c = A^c ∪ B^c\)
조건 1), 2)가 반드시 성립합니다. ( \(1) ∧ 2) <=> T\) )
이를 “드모르간 법칙”이라고 표현합니다.
1.2 함수
두 집합 \(X, Y( X ≠ \emptyset , Y ≠ \emptyset)\)에 대해 \(∀ x ∈ X, ∃! y ∈ Y, (y = f(x))\) 이면, \(f\)를 \(X\) 에서 \(Y\)로의 “함수”라고 합니다.
일반적으로 \( f : X -> Y, f := X => Y \)등의 표현으로 사용되며,
이 때, \(X\)는 “정의역”(Domain), \(Y\)를 “공변역”(공역, Codomain), \(f(X)\) 를 “치역”(Range)라고 표현합니다.
\(f : X -> Y, A ⊂ X => f(A) = \left\{ f(x) : x ∈ A \right\}\) 를 \(f\)에 의한 \(A\)의 “상”(Image)이라고 표현 합니다.
\(f : X -> Y, B ⊂ Y => f^{-1}(B) = \left\{x ∈ X : f(x) ∈ B\right\}\)를 \(f\)에 의한 \(B\)의 “역상”(Inverse Image)이라고 표현 합니다.
\(X, Y ⊂ ℝ, f : X -> Y\) 이라고 정의 했을 때,
1) \(∀ x_1, x_2 ∈ X, f(x_1) = f(x_2) => x_1 = x_2\) 이면 \(f\)를 “단사 함수” (injection)라고 표현 합니다.
2) \(∀ y ∈ Y , ∃ x ∈ X : y = f(x)\) 이면 \(f\)를 “전사 함수” (Surjection)라고 표현 합니다.
3) \(f : 전사 함수 ∧ f : 단사 함수\) 이면 \(f\)를 “전단사 함수” (Bijection)라고 표현 합니다.
\(f : X -> Y ∧ f : 전단사함수 => ∃ f^{-1} : Y -> X\) 일 때,
\(f^{-1}\)을 \(f\)의 “역 함수” (Inverse function)라고 표현 합니다.
\(f : X -> Y, g : Y -> Z\)이라고 정의 했을 때,
\(∀ x ∈ X\) 에 대해 \(g( f( x ) )\)를 \(g ∘ f ( x )\) 라고 표현 할 수 있고
이 들을 “합성함수” (Composite function)라고 표현 합니다.
두집합 \(A, B\)에 대해 \(A × B = \left\{(a, b) | a ∈ A, b ∈ B\right\}\)이고,
이를 \(A\)와 \(B\)의 “카테시안 곱”(Cartesian product)이라고 표현 합니다.
\(f : X -> Y, \left\{( x, f(x) ) | x ∈ X\right\} ⊂ X × Y\) 일 때,
\(\left\{( x, f(x) ) | x ∈ X\right\}\)를 \(f\)의 “그래프”(Graph)라고 표현 합니다.
1.3 정렬 원칙
\(\emptyset ≠ S ⊂ ℕ, ∃! min(S)\) : (\(min\) := 집합의 최소 원소를 반환하는 함수)
이를 자연수 집합의 “정렬 원칙”이라고 부르는 성질입니다. (well-ordering principle of \(ℕ\))
자연수 집합의 정렬 원칙에 따라 “수학적 귀납법” (Mathematical Induction)을 정의 할 수 있으며
이는 다음과 같습니다.
\(∀ n ∈ ℕ, P( n )\) := 어떠한 명제,
1). \(P( 1 ) = T\), (이를 “기저 조건”(Base case)라고 표현합니다.)
2). \(P( k ) = T => P( k+1 ) = T\), (이를 “귀납 가정”(Inductive hypothesis)이라고 표현합니다.)
3). \(1) ∧ 2) => P( n ) = T\)
( 이 때 1)의 \(n = 1\)은 기저 조건으로 적합하기에 사용되었지만, 반드시 \(n = 1\)이 기저 조건이어야 하는 것은 아닙니다.
하지만, 1)과 2)로 모든 원소 \(n\)에 대하여 \(P(n)\)이 유도될 수 있도록 정하는 것이 좋습니다. )
1.4 체의 공리
집합 \(A\)에 대해 \(f : A (*) A -> A\) 이면 \(f\)는 \(A\)위의 “이항 연산”(binary operation)이라고 표현합니다.
(\(f\)의 \((*)\)는 \(∀ a_1, a_2 ∈ A, ∃ a_3 ∈ A : a_1 (*) a_2 = a_3\)을 만족해야 합니다.)
이 때, \(f\)는 \(A\)에 대해 “닫혀있다” 고 표현합니다.
군, 환, 체 는 대표적인 대수적 구조들입니다. 이 중에서 먼저, 체에 대해 다뤄 보겠습니다.
체는 먼저 대수 집합과 이항연산으로 덧셈연산과 곱셈연산이 정의 되어있으며,
체의 공리는 다음 9가지를 가지고 있습니다.
어떤 체의 대수 집합 \(C\)에 대해 이항연산 \(+ , ·\) 이 있다고 할때,
1). \(∀ a, b ∈ C, a + b = b + a\) 이를 “덧셈의 교환법칙” 이라고 표현합니다.
2). \(∀ a, b, c ∈ C, a + (b + c) = (a + b) + c\) 이를 “덧셈의 결합법칙” 이라고 표현합니다.
3). \(∀ a ∈ C, ∃ 0 ∈ C : a + 0 = 0 + a = a\) 이때 “\(0\)“을 “덧셈의 항등원” 이라고 표현합니다.
4). \(∀ a ∈ C, ∃ -a ∈ C : a + -a = -a + a = 0\) 이때 “\(-a\)“를 덧셈에서 \(a\)의 “역원”이라고 표현 합니다.
5). \(∀ a, b ∈ C, a · b = b · a\) 이를 “곱셈의 교환법칙” 이라고 표현합니다.
6). \(∀ a, b, c ∈ C, a · (b · c) = (a · b) · c\) 이를 “곱셈의 결합법칙” 이라고 표현합니다.
7). \(∀ a ∈ C, ∃ 1 ∈ C : a · 1 = 1 · a = a\) 이때 “\(1\)“을 “곱셈의 항등원” 이라고 표현합니다.
8). \(∀ a ∈ C, ∃ a^{-1} ∈ C : a · a^{-1} = a^{-1} · a = 1\) 이때 “\(a^{-1}\)“을 곱셈에서 \(a\)의 “역원”이라고 표현 합니다.
9). \(∀ a, b, c ∈ C, a · (b + c) = a · b + a · c\) 이를 “분배법칙”이라고 표현합니다.
1.5 순서 공리
“순서 공리”는 다음과 같이 정의 됩니다. \(\emptyset ≠ P ⊂ ℝ\) 일때,
1). \(∀ a, b ∈ P , a + b ∈ P ∧ a · b ∈ P\)
2). \(∀ x ∈ ℝ\) , \((x ∈ P)\) 이거나 아니면, \((x = 0)\) 이거나 아니면, \((-x ∈ P)\)
(이는 모든 실수 집합의 원소 \(x\)에 대해 \((x ∈ P), (x = 0), (-x ∈ P)\) <=> 3개중 단 하나만 성립한다는 의미입니다.)
\(1) ∧ 2) => ∃ P : ∅ ≠ P ⊂ ℝ\) ( 조건 1), 2)가 둘 다 성립하면 \(P\)는 존재한다.)
순서 공리를 사용하여 다음과 같은 정의를 얻을 수 있습니다.
집합 \(P\)를 양의 실수 집합이라 할때,
1). \(∀ a, b ∈ ℝ , a – b ∈ P => a > b ∧ b < a\)
2). \(∀ a, b ∈ ℝ , a – b ∈ P ∪ {0} => a ≥ b ∧ b ≤ a\)
3). \(∀ a, b ∈ ℝ\), \((a < b)\) 이거나 아니면, \((a = b)\) 이거나 아니면, \((a > b)\)
4). \(1) ∧ 2) ∧ 3) =T\)
여기서 3)의 정리를 “삼분성질”(Trichotomy property)이라 표현 합니다.
1.6 완비성 공리
체의 공리와 순서 공리를 만족하는 집합 \(ℝ\)에 대해, \(\emptyset ≠ E ⊂ ℝ =>\)
1). \(∃ a ∈ ℝ, ∀ x ∈ E : x ≤ a\) 이를 \(E\)는 “위로 유계”(bounded above)라고 표현하고,
\(a\)를 \(E\)의 “상계”(upper bound)라고 표현합니다.
2). \(∃ b ∈ ℝ, ∀ x ∈ E : b ≤ x\) 이를 \(E\)는 “아래로 유계”(bounded below)라고 표현하고,
\(b\)를 \(E\)의 “하계”(lower bound)라고 표현합니다.
3). \(E : 위로 유계 ∧ E : 아래로 유계\) => \(E\) : “유계” ; 라고 표현 할 수 있습니다.
그리고, \(\emptyset ≠ E ⊂ ℝ\), E : 위로 유계 , \(a ∈ A , b ∈ B\)
1). \(a\) : \(E\)의 상계 => ( \(∀ ε > 0 , ∃ x ∈ E : a – ε < x ≤ a ) <=> \sup{A} = a\) ;
(이는 \(0\)보다 큰 \(ε\)에 대해 \(a\)보다 \(x\)가 작거나 같은데 \(a – ε\) 보다는 큰 위치에 \(a\)가 정의됩니다.
직관적으로는 집합\(E\)에 가장 큰 부분의 끝 값이거나 끝 값에 붙어있는 형태입니다.)
(또한, \(\sup{A} = a\) 로 표현 할 수 있고, 이를 “최소상계”, “상한”이라고 표현합니다.)
(추가로 \(x = a ∈ E\)이면 \(a\)를 \(E\)의 “최대원소”라고 표현합니다.)
2). \(b\) : \(E\)의 하계 => ( \(∀ ε > 0 , ∃ x ∈ E : b ≤ x < b + ε ) <=> \inf{B} = b\) ;
(이는 \(0\)보다 큰 \(ε\)에 대해 \(b\) 보다 \(x\)가 크거나 같은데 \(b + ε\) 보다는 작은 위치에 \(b\)가 정의됩니다.
직관적으로는 집합\(E\)에 가장 작은 부분의 끝 값이거나 끝 값에 붙어있는 형태입니다.)
(또한, \(\inf{B} = b\) 로 표현 할 수 있고, 이를 “최대하계”, “하한”이라고 표현합니다.)
(추가로 \(b = x ∈ E\)이면 \(b\)를 \(E\)의 “최소원소”라고 표현합니다.)
완비성 공리는 다음과 같습니다.
\(\emptyset ≠ E ⊂ ℝ\), E : 위로 유계 => \(∃ \sup{E}\)
완비성 공리를 이용하여 다음을 정의할 수 있습니다.
\(\emptyset ≠ E ⊂ ℝ\), E : 아래로 유계 => \(∃ \inf{E} : \inf{E} = -\sup{-E}\) 이기 때문에 정의할 수 있습니다.
(그리고 \(\emptyset ≠ E ⊂ ℝ\), E : 유계 => \(∃ \sup{E} ∧ ∃ \inf{E}\) 도 정의 할 수 있습니다.)
1.7 절대값과 부등식
\(a ∈ ℝ\) 에서 \(|a| = \left\{ a : a ≥ 0 ∧ -a : a < 0 \right\}\) 라고 정의 할 때, \(|a|\) 는 \(a\)의 “절댓값”(Absolute Value) 이라고 표현합니다.
절댓값의 특징으로 다음 네 가지가 있습니다. \(a, b ∈ ℝ =>\)
1). \(| a · b | = | a | · | b |\)
2). \(r > 0 => | a | ≤ r <=> -r ≤ a ≤ r\)
3). \(r > 0 => | a | ≥ r <=> a ≤ -r ∨ a ≥ r\)
4). \(-| a | ≤ a ≤ | a |\)
\(a, b ∈ ℝ => | a + b | ≤ | a | + | b |\) 이고, 이를 “삼각부등식”(Triangle Inequality)이라고 표현합니다.
\(a_1, b_1, \ldots , a_n, b_n ∈ ℝ => (a_1 · b_1 + \ldots + a_n · b_n)^2 ≤ (a_1^2 + \ldots + a_n^2) · (b_1^2 + \ldots + b_n^2)\) 이고,
이를 “코시-슈바르츠 부등식”(Cauchy-Schwartz Inequality)이라고 표현합니다.
\(a, b ∈ ℝ\) 이라 할 때,
1). \(\left\{ x ∈ ℝ : a < x < b \right\} := ( a, b ) => ( a, b )\)를 “개구간”(Open Interval)이라고 표현합니다.
2). \(\left\{ x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b \right\} := [ a, b ] => [ a, b ]\)를 “폐구간”(Closed Interval)이라고 표현합니다.
이 때, \(a\)와 \(b\)는 구간 내에 존재하며 이 둘을 “양 끝점”(End Point)이라고 표현합니다.
3). \(\left\{ x ∈ ℝ : a ≤ x < b \right\} := [ a, b ) => [ a, b )\)를 “반 폐구간”(Half-Closed Interval)이라고 표현합니다.
\(a ∈ ℝ\) 이라 할 때,
1). \(\left\{ x ∈ ℝ : a < x \right\} := ( a, ∞ )\) 또는 \(\left\{ x ∈ ℝ : x < a \right\} := ( -∞, a )\) 를 “열린 반직선”(Open Ray)이라고 표현합니다.
2). \(\left\{ x ∈ ℝ : a ≤ x \right\} := [ a, ∞ )\) 또는 \(\left\{ x ∈ ℝ : x ≤ a \right\} := ( -∞, a ]\) 를 “닫힌 반직선”(Closed Ray)이라고 표현합니다.
\(a ∈ ℝ\) 이라 하고 \(ε > 0\) 이라 할 때,
(\(a – ε, a + ε\)) 을 \(a\) 의 “\(ε\) – 근방” (\(ε\) – Neighborhood of \(a\))이라고 표현하고,
\(N( a, ε )\) 또는 \(N_ε( a )\)으로 표현 가능합니다.
그리고, \((a – ε, a + ε) – \left\{ a \right\}\) 을 \(a\) 의 “제거된 \(ε\) – 근방” (Deleted \(ε\) – Neighborhood of \(a\))이라고 표현합니다.