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미분방정식 3

3.1. 동차 미분방정식

2.6절의 배운 동차함수 및 동차와는 다른 개념으로 n계 선형 미분방정식의 상수함수가 0이면,
( a_n y^{(n)} + \ldots + a_0 y = 0 꼴이면, )

이 미분방정식을 “동차”( Homogeneous 또는 용어구별을 위해 제차, 동차 미분방정식 ) 라고 표현합니다.

반대로 상수함수가 어떠한 함수 g(x) 꼴이면, ( a_ny^{(n)} + \ldots + a_0y = g(x) 꼴이면, )

이 미분방정식을 “비동차”( Non-Homogeneous 또는 용어구별을 위해 비제차, 비동차 미분방정식 ) 라고 표현합니다.


동차방정식의 해를 구하는데 앞서 \frac{d}{dx} = D 로 치환하여 값을 구할 예정인데,

이 때, D 를 “미분연산자”(Differential Equation)라고 표현하고 위의 동차 방정식을
a_nD^ny + \ldots + a_0y = 0 라고 표현가능하고,

추가로 y를 소거하여 a_nD^n + \ldots + a_0 = 0 로 변환할 수 있고,

이를 “n계 미분 연산자” 또는 “다항식 연산자”(Polynomial Operator)라고 표현합니다.


해당 미분 연산자를 L로 치환하여 취급한다면 L은 미분의 두 가지 기본성질인

1). D*c*f(x) = c*D*f(x)

2). D( f(x) + g(x) ) = Df(x) + Dg(x)가 성립하게 되고

이는 D로 이루어진 L도 또한 1) 과 2)를 성립하게 되고 선형성을 띈다고 하여

L을 “선형연산자”(Linear Operator)라고 표현합니다.


다시 위의 동차 및 비동차 방정식을 다시 표현해본다면 위의 정의된 L을 가지고

Ly = 0 꼴이면 동차이고 Ly = g(x) 꼴이면 비동차 일 것입니다.

이 때, L(y)Ly 를 표현한다면 L(y) = 0 이 동차이고, L(y) = g(x)가 비동차 입니다.
( 동차는 y = 0 에서 자명한 해를 가집니다. )


동차 미분방정식에서 어떤 구간에 대해서 정의된 해 y_1, \ldots , y_n 들이 있다고 할 때,

선형성의 성질에 의해 그들의 일차결합 y = c_1y_1 + \ldots + c_ny_n 도 해당 동차 미분방정식의 해가 됩니다.

이를 “중첩원리”(Superopsition Principle)라고 표현합니다.


3.2. 기본 해집합의 정의

일차종속과 일차독립은 선형대수학에 엄밀하게 설명되어 있습니다.

이번 장에서는 간단하게 설명하고 넘어가겠습니다.

어떠한 함수들 f_1 , \ldots , f_n 이 있을 때, 이 함수들 간에서

함수들이 0이 아닌 상수배를 하여 서로 더한 결과가 다른 정의된 함수를 만들어 낼 수 있다면

이 함수들은 “일차종속”이 되고 식으로 c_1f_1 + \ldots + c_nf_n = 0 이 됩니다.

반대로 만들어 낼 수 없거나 식이 0이 되는 방법이 존재하지 않는다면 “일차독립”이라고 표현합니다.

( 각각의 함수들이 서로 일차독립이려면 선형대수학에서 행렬식을 이용하여
0이 아니면 가역행렬이 되고 일차독립이다” 라고 정의되어 있습니다. )


미분방정식에서 역시 론스키 행렬의 행렬식(Wronskian)을 구하여

해당 함수들이 일차독립인지 종속인지 여부를 알 수 있습니다.


론스키 행렬식의 정의는 다음과 같습니다.

각각의 함수 f_1, \ldots , f_n 있고 모두 n-1계 도함수가 정의 될 때,

W( f_1, \ldots , f_n ) = \left| \begin{array}{ccc} f_1 & \cdots & f_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{n-1} & \cdots & f_n^{n-1} \\ \end{array} \right| 입니다,

W( f_1, \ldots , f_n ) = 0 이면 일차 종속이고, W( f_1, \ldots , f_n ) ≠ 0 이면 일차 독립입니다.


구간 I에서 n계 동차 선형방정식의 일차독립인 n개의 해 f_1, \ldots , f_n의 집합을 “기본 해집합”이라고 표현합니다.


기본 해집합인 f_1, \ldots , f_n이 어떠한 구간에 정의 되어 있을 때,

그 구간 위에서 y = c_1f_1 + \ldots + c_nf_n 이 해가 되고 해당 방정식을

“일반해”(General Solution)라고 표현합니다. ( 기본 해집합들로 정의된 해의 원형 느낌일 것입니다. )


3.3. 비동차 미분방정식의 해법

그렇다면, 비동차 미분방정식은 어떻게 풀어야 할까요?


아까 동차방정식의 특수해는 좌변이 Ly 이고 우변이 0이라서 y = 0 이면 특수해가 성립하는 방식인데,

이는 일반해에 사실 적용되어 있습니다. ( 다만, 0이기에 보이지 않을 뿐이였습니다. )

해당 동차 미분방정식의 일반해는 y = c_1f_1 + \ldots + c_nf_n + 1 * 0 ( 특수 해 ) 로 정의 됩니다.


만약, 특수 해가 0이 아니라면, 0이 아닌 특수해 y_p는 기본 해집합 y_1, \ldots , y_n 들에 반드시 독립이 되고
( 특수 해는 해집합에 관계없이 일정하니까 독립이 됩니다. )

또한, 특수 해는 c_1, \ldots , c_n 들이 전부 0일 때도 동작하는 특수성의 성질
( 모든 c값들에 대해서 항상 동일한 해를 가집니다. )로 인해

동차 방정식의 일반해에서 1 * y_p를 추가한 y = c_1f_1 + \ldots + c_nf_n + 1 * y_p 가 일반해가 되고,

사실 비동차 미분방정식 Ly = g(x) 에서 y_pg(x) 이면, 위의 일반해가 동일하게 동작하게 됩니다.


비동차 미분방정식의 해를 구하려면,

먼저, y = c_1f_1 + \ldots + c_nf_n를 구한 후 특수해 인 y_p를 더해줘야 하는데

이 때, 특수해를 제외한 일반해( 먼저 구하는 식 )를 “여함수”(Complementary Function)라고 표현하고,

이 여함수를 구하기 위해 동차 미분방정식으로 해를 구한 후
특수해 y_p를 더하여 비동차 방정식의 해를 구할 수 있습니다.

( 특수해를 구하는 방법은 이후에 미정계수법을 다룰 때, 구하는 방법을 배울 예정입니다. )


비동차 미분방정식의 중첩원리는 다음과 같습니다.

어떠한 비동차 방정식의 해 g_i(x) 로 각 i에 대응되는 특수해 y_{p_i} 가 존재할 때,

g_i들의 상수배 및 덧셈 또한 해가 되고 해는 g_1(x) + \ldots + g_n(x) 이 되는데

이 해의 특수해는 y_{p_1} + \ldots + y_{p_n} 이 됩니다.


3.4. 계수의 감소

2차 이상의 동차 선형 미분방정식의 어떠한 구간에서 일차독립인 해들의 집합을
“기본 해집합”이라고 표현 했었습니다.

만약, 기본 해집합에서 일부 해를 모를 경우에도 다른 서로 독립인 해들을 이용해서
기본 해집합을 완성하는 방법이 있을까요?


n계 미분방정식에서 n-1개의 자명하지 않은 해가 주어졌을 때,

구하려고 하는 해를 y_n, 주어진 서로 독립인 해들을 y_1, … , y_{n-1}이라고 할 때,

각 해들은 독립 조건에 따라, \frac{y_n} {y_1} , \ldots , \frac{y_n} {y_{n-1}}은 전부 상수가 아니게 됩니다.
( 독립은 단순 상수 배와 덧셈으로 나타낼 수 없기 때문입니다. )

따라서 y_nu_1y_1 또는 u_2y_2, \ldots , u_ny_n 꼴로 나타낼 수 있게 됩니다.
( u 함수는 둘을 나눈 몫입니다. \frac{y_n} {y_1} = u_1 => y_n = u_1y_1 )


그렇게 된다면 u_1, \ldots , u_n 들을 구하고 연립하는 문제 이므로,

u를 구하기 위해 n-1계 미분 방정식을 n개 연립하게 되는데

이 방법을 “계수의 감소”법(Reduction of Order)이라고 표현합니다. ( n계 미분방정식 -> n-1계 연립 )


표준형 2계 미분 방정식 y^{\prime\prime} + P( x )y’ + Q( x )y = 0 이 정의 될 때,
자명하지 않은 해 y_1y_2가 존재 하고 y_1이 주어졌을 때, y_2는 다음과 같습니다.

y_2 = uy_1이라 할 때,

y^{\prime\prime} + Py’ + Qy = y_1u^{\prime\prime} + ( 2y_1′ + Py_1 ) u’ = 0 , u = ∫ \frac{c_1e^{-∫ P dx}} {y_1^2} dx , y_2 = y_1∫ \frac{e^{-∫ P dx}} {y_1^2} dx

( c_1은 일반해에서 언급되므로 1로 두고 y_2를 정의 하였습니다.)


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