2.1. 자율 1계 미분 방정식
어떠한 미분방정식이 “자율적”(Autonomous)이다. 라고 한다면,
미분방정식 \(\frac{dy}{dx} = f( y, y’, \ldots)\) 또는 \(f(y)\) 의 형태가 될 수 있다는 것을 의미합니다.
만약, \(\frac{dy}{dx} = f( x, y, y’, \ldots)\) 또는 \(f(x, y)\) 로 \(x\)가 남는다면 이를 “비자율적”이라고 표현합니다.
어떠한 자율적인 미분방정식 \(f\)가 \(0\)인 \(y\)지점 ( \(\frac{dy}{dx} = f( y, y’ ) = 0\) 또는 \(f(y) = 0\) 가 성립하는 \(y\) )을
자율 미분방정식의 “임계점”(Critical Point, 또는 평형 점)라고 표현 합니다.
이때, 임계점 \(c\)에 대해 \(y(x) = c\) : 상수 해가 존재하고 이를 “평형 해”(Equilibrium Solution)라고 표현 하고
이 해가 해당 미분방정식의 유일한 상수 해가 됩니다.
2.2. 변수 분리
\(1\)계 미분방정식 \(\frac{dy}{dx} = f( x, y )\) 에서 \(f( x, y )\)를 어떤 \(x\)의 함수 \(g( x )\)과 어떤 \(y\)의 함수 \(h( y )\)로 분리 할 수 있다면,
\(\frac{dy}{dx} = f( x, y ) = g( x ) ∘ h( y )\) 이고, 이를 “변수 분리가능하다”(Separable Variables)라고 표현 합니다.
모든 변수 분리 가능한 방정식은 미분형식으로 나타 낼 수 있다고 표현 하고,
각 항에 적분기호( \(∫\) )를 곱하고 계산하여( 각 항을 적분하여 ) 해를 구할 수 있습니다. ( \(∫ \frac{1}{h( y )} dy = ∫ g( x ) dx\) )
이는 획기적인 방법이긴 하지만,
일반적인 해의 집합족에 포함되지 않는 “특이 해”의 경우에는 계산 과정에서 배제가 된 방정식으로 변할 수 있습니다.
그래서 \(\frac{dy}{dx} = g( x ) ∘ h( y )\)에서 각 항 ( \(g\)나 \(h\) )의 해를 미리 구할 수 있는 것이 있는지 판단하고,
이후 적분을 취하여 집합족을 구하는 것이 바람직 합니다.
구체적으로 변수 분리가능한 미방에서 초기값 조건이 주어진 문제라면 각 항에 적분을 취할 때,
초기 값을 이용한 정적분을 시도하여 값을 구체화 할 수 있을 것 입니다.
( 정적분은 자연스럽게 적분인자를 소거할 수 있기 때문입니다. )
( 이 상황에서 미분방정식의 해가 식의 적분형태로 정의된 해도 물론 존재 할 것입니다. )
2.3. 선형 방정식 과 해법
위에 1.1에서 설명했던 “선형성에 의한 분류”에서
\(q(x) = a_n(x)y^{(n)} + \ldots + a_0(x)y\) 꼴로 나타 낼 수 있는 방정식을
변수 \(y\)에 대한 “선형 방정식”(Linear Equation, 또는 \(n\)계 선형 미분 방정식 )이라고 표현 합니다.
또한, “선형 방정식”은 \(y^{(n)} + p_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \ldots + p_0(x)y = f(x)\) 꼴로도 변환 가능한데,
이 때, 변환된 형태를 “표준형”(Standard Form)이라고 표현 합니다. (정규형과 다릅니다.)
“표준형”으로 변환된 미방에 대해서 일부는 변수 분리 가능한 것도 존재하여 변수 분리 방법으로 풀어 나가면 되지만,
되지 않는 방정식도 그 만큼 많습니다.
그렇다면, 변수 분리가 되지 않는 “표준형” 방정식은 어떻게 풀어야 할까요?
각 항에 특수한 함수 \(μ(x)\)를 곱하여 계산을 할 수 있습니다.
특수한 함수 \(μ\)를 구하기 위해 \(1\)계 미분 방정식의 예시로 보면,
\(\frac{dy}{dx} + P(x)y = f(x)\) => \(μ(x) \frac{dy}{dx} + μ(x)P(x)y = μ(x)f(x)\) 가 될 것입니다.
이 때, 좌항을 주의 깊게 보면 : \(μ(x)\) 와 \(y\)를 미분한 값\(\frac{dy}{dx}\)의 곱 \(+\) \(μ(x)P(x)\) 와 \(y\)값의 곱 ; 인데,
\(μ'(x)\)가 \(μ(x)P(x)\)이라면,
\(( μ'(x) = μ(x)P(x) )\) => \(( μ(x) * \frac{dy}{dx} ) + ( μ(x)P(x)y ) = ( μ(x)y’ ) + ( μ'(x)y ) = \frac{d}{dx}( μ(x)y )\) 이므로,
\(\frac{d}{dx}(μ(x)y) = μ(x)f(x)\) => \(∫ \frac{d}{dx}(μ(x)y) dx = ∫ μ(x)f(x) dx\)
=> \(y = μ^{-1}(x) ∫ μ(x)f(x) dx + cμ^{-1}(x)\) 로 해를 구할 수 있게 됩니다.
그럼, 1계 미분방정식에서 특수한 함수 \(μ(x)\) 는 \(μ'(x) + μ(x)P(x) = 0\) 을 만족하면 되고,
\(μ(x)\) 의 해는 \(e^{ ∫ P(x) dx + c_0 } = ce^{ ∫ P(x) dx } : c = e^{ c_0 }\)이고,
\(μ(x)\) 는 양변에 곱하여 사용하는 특성 상 c는 항상 소거 되기 때문에,
\(μ(x)\) = \(e^{ ∫ P(x) dx }\) 로 사용해도 무방하다고 볼 수 있습니다.
이 때, \(μ(x) = e^{ ∫ P(x) dx }\) 를 표준형 \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = f(x)\) 의 “적분인자”(Integrating Factor)라고 표현 합니다.
또한, 어떠한 구간 \(I\)에서 \(y = μ^{-1}(x) ∫ μ(x) f(x) dx + c μ^{-1}(x) : μ(x) = e^{ ∫ P(x) dx }\) 을
“일반해”(General Solution) 라고 표현 합니다.
이 방식에도 주의해야 할 점이 존재하는데,
위의 \(q(x) = a_n(x)y^{(n)} + \ldots + a_0(x)y\) 꼴의 방정식에서
표준형 \(y^{(n)} + p_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + p_0(x)y = f(x)\) 꼴로 변환하는 과정에서
\(a_n(x)\) 함수가 \(0\)이 되게 하는 \(x = a_n^{-1}( 0 )\) 의 값을 “특이점”(Singular Point)이라고 표현 하고,
이 “특이점”에서는 일반 해의 의미가 없어지므로 보통, “특이점이 없는 어떤 구간 \(I\)“를 두고 해를 구합니다.
2.4. 완전 미분방정식
이변수 함수 \(f( x, y )\)의 “미분”(Differential)은 \(\frac{df}{dt} = \frac{∂f}{∂x} \frac{dx}{dt} + \frac{∂f}{∂y} \frac{dy}{dt} \) 이면,
아래의 임의 매개변수를 제외한 형태로 \(df = \frac{∂f}{∂x} * dx + \frac{∂f}{∂y} * dy \) 가 됩니다.
쉬운 예로 \( d( xy ) = y * dx + x * dy \) 가 있습니다.
그렇다면, 만약, 미분형식 \(M( x, y ) * dx + N( x, y ) * dy\) ( 예시에선 \(y * dx + x * dy\) ) 으로
어떠한 \(f( x, y )\) ( 예시에선 \(xy\) ) 를 어떻게 찾을 수 있을까요?
일단, 어떠한 미분형식 \(M( x, y ) * dx + N( x, y ) * dy = 0\) 이 정의된 영역 \(R\)에서 \(f( x, y )\)의 미분 값과 같다면,
영역 \(R\)에서 “완전 미분”(Exact Differential)이라고 표현하고,
이 미분 형식(미분 방정식)을 “완전 미분방정식”(Exact Equation)이라고 표현합니다.
그리고, 어떠한 미분형식 \(M( x, y ) * dx + N( x, y ) * dy = 0\) 이
완전방정식이 되기 위한 필요충분조건은 다음과 같습니다.
\(R = \{( x, y ) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d\}\) , \(M( x, y )\)과 \(\frac{∂M}{∂y}\), \(N( x, y )\)과 \(\frac{∂N}{∂x}\) 이 \(R\)에서 연속이다 =>
\(\frac{∂M}{∂y} = \frac{∂N}{∂x}\) => 해당 미분방정식은 완전 미분방정식이다.
( 핵심은 어떠한 함수\(f\) 에서 각 매개변수의 편도함수를 만드는 과정에서 \(x\)를 먼저 미분한 \(M\)과 \(y\)를 먼저 미분한 \(N\)이 나오지만,
한번 더 \(M\)을 \(y\)로, \(N\)을 \(x\)로 미분 하면 \(f\) 에서 \(x\)와 \(y\)로 각각 한 번씩 미분한 것과 같은 결과가 나오고
이는 \(x\)와 \(y\)가 순서가 바뀌어도 미분된 값은 같기 때문에 가능합니다. )
그렇다면, 주어진 어떠한 미분 형태로 \(f\)를 구하는 방법은 다음과 같습니다.
\(M\)이나 \(N\)둘 중 하나를 선택하여 역으로 적분 하여
\(f( x, y ) = ∫ M( x, y ) dx + c(y)\) 또는 \(∫ N( x, y ) dy + c(x)\) 로 \(f\)를 구합니다.
( 이 때, \(c\)는 적분 상수 이지만, 편미분에서는 \(y\)로만 이루어진 함수 \(c(y)\), \(x\)로만 이루어진 함수 \(c(x)\) 일 수도 있기 때문에,
함수 형태로 표현 했습니다. )
그렇기에 \(c\)를 구체화 하기 위해 구한 \(f\)를 \(\frac{df}{dy} = N( x, y )\) 또는 \(\frac{df}{dx} = M( x, y )\) 로 검사 하여
상수 항을 제외한 모든 항을 구체화 할 수 있게 됩니다.
2.5. 완전이 아닌 미분방정식의 해법
만약, 어떠한 미분형식이 완전 미분방정식이 되기 위한 필요충분조건에 충족되지 않는다면, 어떻게 해야 할까요?
선형 방정식에서 변수 분리가 되지 않는 방정식을 양변에 적분 인자를 곱하여 해를 찾는 것 처럼,
\(M( x, y ) * dx + N( x, y ) * dy = 0\) => \(μ( x, y )M( x, y ) * dx + μ( x, y )N( x, y ) * dy = 0\) 으로
완전 미분 방정식을 만들면 해를 기존처럼 구할 수 있을 것 입니다.
새롭게 만든 미분 방정식 \(μ( x, y )M( x, y ) * dx + μ( x, y )N( x, y ) * dy = 0\) 이 완전 미분 방정식이 되기 위한 필요 충분 조건은 다음과 같습니다.
\(R = \{(x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d\}\) , \(M( x, y )\)과 \(\frac{∂M}{∂y}\), \(N( x, y )\)과 \(\frac{∂N}{∂x}\) 이 \(R\)에서 연속이다 =>
\(\frac{∂}{∂y}(μM) = \frac{∂}{∂x}(μN)\) => 해당 미분방정식은 완전 미분방정식이다.
위 정의로 부터 다음을 유도 할 수 있습니다.
\(\frac{∂}{∂y} ( μM ) = \frac{∂}{∂x} ( μN ) = μ \frac{∂M}{∂y} + \frac{∂μ}{∂y} M = μ \frac{∂N} {∂x} + \frac{∂μ} {∂x} N \) => \(\frac{∂μ} {∂x} N – \frac{∂μ} {∂y} M = ( \frac{∂M} {∂y} – \frac{∂N} {∂x} ) μ = ( M_y – N_x ) μ\)
위의 내용으로 부터
1). 만약, \(μ( x, y )\)가 \(μ( x )\) 라면 => \(\frac{∂μ}{∂y} = 0\) 이므로, \(\frac{∂μ}{∂x} = \frac{ \frac{∂M}{∂y} – \frac{∂N}{∂x} }{N} μ = \frac{ M_y – N_x } {N} μ \)이 되고
이때, \( \frac{ M_y – N_x } {N}\) 이 \(x\)로만 이루어진 함수 라면( \(f( x )\)로 치환 ) 적분인자로 사용가능 하고
\(μ( x, y ) = μ( x ) = e^{ ∫ f( x ) dx }\) 입니다.
2). 만약, \(μ( x, y )\)가 \(μ( y )\) 라면 \(=> \frac{∂μ} {∂x} = 0\) 이므로, \(\frac{∂μ}{∂y} = \frac{(\frac{∂N}{∂x} – \frac{∂M}{∂y})} {M} μ = \frac{ N_x – M_y } {M} μ \) 이 되고
이때, \(\frac{ N_x – M_y } {M}\) 이 \(y\)로만 이루어진 함수 라면( \(f( y )\)로 치환 ) 적분인자로 사용가능 하고
\(μ( x, y ) = μ( y ) = e^{ ∫ f( y ) dy }\) 입니다.
3). 만약 1)과 2) 둘 다 조건이 맞지 않는다면 해당 미분방정식은 완전 미분방정식이 될 수 없습니다.
2.6 치환을 사용한 해법
어떤 미분방정식들은 치환을 이용하여 손쉽게 풀 수 있습니다.
만약, 어떠한 함수 \(f\)가 \(f( tx, ty ) = t^i * f( x, y )\) : ( \(i\) 는 임의의 상수 ) 일 때,
\(f\)를 차수가 \(i\)인 “동차함수”(Homogeneous Function)라고 표현합니다.
이 때, 미분형식으로 변환가능한 \(f( x, y )\)에서 \(M( x, y )\) 과 \(N( x, y )\)이 서로 같은 차수의 동차방정식이면,
\(f\)를 동차(“Homogeneous”)라고 표현합니다.
동차 미분방정식임이 확인되면 \(y = ux\) 꼴의 선형으로 치환하여 문제를 다르게 접근하여 보다 쉽게 풀 수도 있습니다.
( \(u\)는 또 다른 종속변수 입니다. )
임의의 실수 \(n\)에 대해 \(\frac{dy}{dx} + P( x )y = f( x )y^{(n)}\) 을
“베르누이 방정식”(Bernoulli`s Equation) 이라고 표현합니다.
\(n = 0\) 이거나 \(n = 1\)이면,
선형 방정식이므로 대입으로 풀거나 2.4절의 적분인자를 사용한 풀이법으로 해결하면 됩니다.
\(n > 1\) 인 경우,
\(u = y^{1-n}\) 꼴로 치환하고 문제를 접근 해본다면 해당 방정식을 선형방정식 화 하여 보다 쉽게 풀 수도 있습니다.
만약, 미분방정식이 \(\frac{dy}{dx} = f( Ax + By + C )\) 꼴로 주어진다면,
아얘 전체를 하나로 치환하여 문제를 해결 할 수도 있습니다. ( \(u = Ax + By + C\) )
해당 방식은 항상 2.2절의 변수 분리 방정식의 풀이법을 적용할 수 있게 해줍니다.