2.1. 자율 1계 미분 방정식
어떠한 미분방정식이 “자율적”(Autonomous)이다. 라고 한다면,
미분방정식 \frac{dy}{dx} = f( y, y’, \ldots) 또는 f(y) 의 형태가 될 수 있다는 것을 의미합니다.
만약, \frac{dy}{dx} = f( x, y, y’, \ldots) 또는 f(x, y) 로 x가 남는다면 이를 “비자율적”이라고 표현합니다.
어떠한 자율적인 미분방정식 f가 0인 y지점 ( \frac{dy}{dx} = f( y, y’ ) = 0 또는 f(y) = 0 가 성립하는 y )을
자율 미분방정식의 “임계점”(Critical Point, 또는 평형 점)라고 표현 합니다.
이때, 임계점 c에 대해 y(x) = c : 상수 해가 존재하고 이를 “평형 해”(Equilibrium Solution)라고 표현 하고
이 해가 해당 미분방정식의 유일한 상수 해가 됩니다.
2.2. 변수 분리
1계 미분방정식 \frac{dy}{dx} = f( x, y ) 에서 f( x, y )를 어떤 x의 함수 g( x )과 어떤 y의 함수 h( y )로 분리 할 수 있다면,
\frac{dy}{dx} = f( x, y ) = g( x ) ∘ h( y ) 이고, 이를 “변수 분리가능하다”(Separable Variables)라고 표현 합니다.
모든 변수 분리 가능한 방정식은 미분형식으로 나타 낼 수 있다고 표현 하고,
각 항에 적분기호( ∫ )를 곱하고 계산하여( 각 항을 적분하여 ) 해를 구할 수 있습니다. ( ∫ \frac{1}{h( y )} dy = ∫ g( x ) dx )
이는 획기적인 방법이긴 하지만,
일반적인 해의 집합족에 포함되지 않는 “특이 해”의 경우에는 계산 과정에서 배제가 된 방정식으로 변할 수 있습니다.
그래서 \frac{dy}{dx} = g( x ) ∘ h( y )에서 각 항 ( g나 h )의 해를 미리 구할 수 있는 것이 있는지 판단하고,
이후 적분을 취하여 집합족을 구하는 것이 바람직 합니다.
구체적으로 변수 분리가능한 미방에서 초기값 조건이 주어진 문제라면 각 항에 적분을 취할 때,
초기 값을 이용한 정적분을 시도하여 값을 구체화 할 수 있을 것 입니다.
( 정적분은 자연스럽게 적분인자를 소거할 수 있기 때문입니다. )
( 이 상황에서 미분방정식의 해가 식의 적분형태로 정의된 해도 물론 존재 할 것입니다. )
2.3. 선형 방정식 과 해법
위에 1.1에서 설명했던 “선형성에 의한 분류”에서
q(x) = a_n(x)y^{(n)} + \ldots + a_0(x)y 꼴로 나타 낼 수 있는 방정식을
변수 y에 대한 “선형 방정식”(Linear Equation, 또는 n계 선형 미분 방정식 )이라고 표현 합니다.
또한, “선형 방정식”은 y^{(n)} + p_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \ldots + p_0(x)y = f(x) 꼴로도 변환 가능한데,
이 때, 변환된 형태를 “표준형”(Standard Form)이라고 표현 합니다. (정규형과 다릅니다.)
“표준형”으로 변환된 미방에 대해서 일부는 변수 분리 가능한 것도 존재하여 변수 분리 방법으로 풀어 나가면 되지만,
되지 않는 방정식도 그 만큼 많습니다.
그렇다면, 변수 분리가 되지 않는 “표준형” 방정식은 어떻게 풀어야 할까요?
각 항에 특수한 함수 μ(x)를 곱하여 계산을 할 수 있습니다.
특수한 함수 μ를 구하기 위해 1계 미분 방정식의 예시로 보면,
\frac{dy}{dx} + P(x)y = f(x) => μ(x) \frac{dy}{dx} + μ(x)P(x)y = μ(x)f(x) 가 될 것입니다.
이 때, 좌항을 주의 깊게 보면 : μ(x) 와 y를 미분한 값\frac{dy}{dx}의 곱 + μ(x)P(x) 와 y값의 곱 ; 인데,
μ'(x)가 μ(x)P(x)이라면,
( μ'(x) = μ(x)P(x) ) => ( μ(x) * \frac{dy}{dx} ) + ( μ(x)P(x)y ) = ( μ(x)y’ ) + ( μ'(x)y ) = \frac{d}{dx}( μ(x)y ) 이므로,
\frac{d}{dx}(μ(x)y) = μ(x)f(x) => ∫ \frac{d}{dx}(μ(x)y) dx = ∫ μ(x)f(x) dx
=> y = μ^{-1}(x) ∫ μ(x)f(x) dx + cμ^{-1}(x) 로 해를 구할 수 있게 됩니다.
그럼, 1계 미분방정식에서 특수한 함수 μ(x) 는 μ'(x) + μ(x)P(x) = 0 을 만족하면 되고,
μ(x) 의 해는 e^{ ∫ P(x) dx + c_0 } = ce^{ ∫ P(x) dx } : c = e^{ c_0 }이고,
μ(x) 는 양변에 곱하여 사용하는 특성 상 c는 항상 소거 되기 때문에,
μ(x) = e^{ ∫ P(x) dx } 로 사용해도 무방하다고 볼 수 있습니다.
이 때, μ(x) = e^{ ∫ P(x) dx } 를 표준형 \frac{dy}{dx} + P(x)y = f(x) 의 “적분인자”(Integrating Factor)라고 표현 합니다.
또한, 어떠한 구간 I에서 y = μ^{-1}(x) ∫ μ(x) f(x) dx + c μ^{-1}(x) : μ(x) = e^{ ∫ P(x) dx } 을
“일반해”(General Solution) 라고 표현 합니다.
이 방식에도 주의해야 할 점이 존재하는데,
위의 q(x) = a_n(x)y^{(n)} + \ldots + a_0(x)y 꼴의 방정식에서
표준형 y^{(n)} + p_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + p_0(x)y = f(x) 꼴로 변환하는 과정에서
a_n(x) 함수가 0이 되게 하는 x = a_n^{-1}( 0 ) 의 값을 “특이점”(Singular Point)이라고 표현 하고,
이 “특이점”에서는 일반 해의 의미가 없어지므로 보통, “특이점이 없는 어떤 구간 I“를 두고 해를 구합니다.
2.4. 완전 미분방정식
이변수 함수 f( x, y )의 “미분”(Differential)은 \frac{df}{dt} = \frac{∂f}{∂x} \frac{dx}{dt} + \frac{∂f}{∂y} \frac{dy}{dt} 이면,
아래의 임의 매개변수를 제외한 형태로 df = \frac{∂f}{∂x} * dx + \frac{∂f}{∂y} * dy 가 됩니다.
쉬운 예로 d( xy ) = y * dx + x * dy 가 있습니다.
그렇다면, 만약, 미분형식 M( x, y ) * dx + N( x, y ) * dy ( 예시에선 y * dx + x * dy ) 으로
어떠한 f( x, y ) ( 예시에선 xy ) 를 어떻게 찾을 수 있을까요?
일단, 어떠한 미분형식 M( x, y ) * dx + N( x, y ) * dy = 0 이 정의된 영역 R에서 f( x, y )의 미분 값과 같다면,
영역 R에서 “완전 미분”(Exact Differential)이라고 표현하고,
이 미분 형식(미분 방정식)을 “완전 미분방정식”(Exact Equation)이라고 표현합니다.
그리고, 어떠한 미분형식 M( x, y ) * dx + N( x, y ) * dy = 0 이
완전방정식이 되기 위한 필요충분조건은 다음과 같습니다.
R = \{( x, y ) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d\} , M( x, y )과 \frac{∂M}{∂y}, N( x, y )과 \frac{∂N}{∂x} 이 R에서 연속이다 =>
\frac{∂M}{∂y} = \frac{∂N}{∂x} => 해당 미분방정식은 완전 미분방정식이다.
( 핵심은 어떠한 함수f 에서 각 매개변수의 편도함수를 만드는 과정에서 x를 먼저 미분한 M과 y를 먼저 미분한 N이 나오지만,
한번 더 M을 y로, N을 x로 미분 하면 f 에서 x와 y로 각각 한 번씩 미분한 것과 같은 결과가 나오고
이는 x와 y가 순서가 바뀌어도 미분된 값은 같기 때문에 가능합니다. )
그렇다면, 주어진 어떠한 미분 형태로 f를 구하는 방법은 다음과 같습니다.
M이나 N둘 중 하나를 선택하여 역으로 적분 하여
f( x, y ) = ∫ M( x, y ) dx + c(y) 또는 ∫ N( x, y ) dy + c(x) 로 f를 구합니다.
( 이 때, c는 적분 상수 이지만, 편미분에서는 y로만 이루어진 함수 c(y), x로만 이루어진 함수 c(x) 일 수도 있기 때문에,
함수 형태로 표현 했습니다. )
그렇기에 c를 구체화 하기 위해 구한 f를 \frac{df}{dy} = N( x, y ) 또는 \frac{df}{dx} = M( x, y ) 로 검사 하여
상수 항을 제외한 모든 항을 구체화 할 수 있게 됩니다.
2.5. 완전이 아닌 미분방정식의 해법
만약, 어떠한 미분형식이 완전 미분방정식이 되기 위한 필요충분조건에 충족되지 않는다면, 어떻게 해야 할까요?
선형 방정식에서 변수 분리가 되지 않는 방정식을 양변에 적분 인자를 곱하여 해를 찾는 것 처럼,
M( x, y ) * dx + N( x, y ) * dy = 0 => μ( x, y )M( x, y ) * dx + μ( x, y )N( x, y ) * dy = 0 으로
완전 미분 방정식을 만들면 해를 기존처럼 구할 수 있을 것 입니다.
새롭게 만든 미분 방정식 μ( x, y )M( x, y ) * dx + μ( x, y )N( x, y ) * dy = 0 이 완전 미분 방정식이 되기 위한 필요 충분 조건은 다음과 같습니다.
R = \{(x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d\} , M( x, y )과 \frac{∂M}{∂y}, N( x, y )과 \frac{∂N}{∂x} 이 R에서 연속이다 =>
\frac{∂}{∂y}(μM) = \frac{∂}{∂x}(μN) => 해당 미분방정식은 완전 미분방정식이다.
위 정의로 부터 다음을 유도 할 수 있습니다.
\frac{∂}{∂y} ( μM ) = \frac{∂}{∂x} ( μN ) = μ \frac{∂M}{∂y} + \frac{∂μ}{∂y} M = μ \frac{∂N} {∂x} + \frac{∂μ} {∂x} N => \frac{∂μ} {∂x} N – \frac{∂μ} {∂y} M = ( \frac{∂M} {∂y} – \frac{∂N} {∂x} ) μ = ( M_y – N_x ) μ
위의 내용으로 부터
1). 만약, μ( x, y )가 μ( x ) 라면 => \frac{∂μ}{∂y} = 0 이므로, \frac{∂μ}{∂x} = \frac{ \frac{∂M}{∂y} – \frac{∂N}{∂x} }{N} μ = \frac{ M_y – N_x } {N} μ 이 되고
이때, \frac{ M_y – N_x } {N} 이 x로만 이루어진 함수 라면( f( x )로 치환 ) 적분인자로 사용가능 하고
μ( x, y ) = μ( x ) = e^{ ∫ f( x ) dx } 입니다.
2). 만약, μ( x, y )가 μ( y ) 라면 => \frac{∂μ} {∂x} = 0 이므로, \frac{∂μ}{∂y} = \frac{(\frac{∂N}{∂x} – \frac{∂M}{∂y})} {M} μ = \frac{ N_x – M_y } {M} μ 이 되고
이때, \frac{ N_x – M_y } {M} 이 y로만 이루어진 함수 라면( f( y )로 치환 ) 적분인자로 사용가능 하고
μ( x, y ) = μ( y ) = e^{ ∫ f( y ) dy } 입니다.
3). 만약 1)과 2) 둘 다 조건이 맞지 않는다면 해당 미분방정식은 완전 미분방정식이 될 수 없습니다.
2.6 치환을 사용한 해법
어떤 미분방정식들은 치환을 이용하여 손쉽게 풀 수 있습니다.
만약, 어떠한 함수 f가 f( tx, ty ) = t^i * f( x, y ) : ( i 는 임의의 상수 ) 일 때,
f를 차수가 i인 “동차함수”(Homogeneous Function)라고 표현합니다.
이 때, 미분형식으로 변환가능한 f( x, y )에서 M( x, y ) 과 N( x, y )이 서로 같은 차수의 동차방정식이면,
f를 동차(“Homogeneous”)라고 표현합니다.
동차 미분방정식임이 확인되면 y = ux 꼴의 선형으로 치환하여 문제를 다르게 접근하여 보다 쉽게 풀 수도 있습니다.
( u는 또 다른 종속변수 입니다. )
임의의 실수 n에 대해 \frac{dy}{dx} + P( x )y = f( x )y^{(n)} 을
“베르누이 방정식”(Bernoulli`s Equation) 이라고 표현합니다.
n = 0 이거나 n = 1이면,
선형 방정식이므로 대입으로 풀거나 2.4절의 적분인자를 사용한 풀이법으로 해결하면 됩니다.
n > 1 인 경우,
u = y^{1-n} 꼴로 치환하고 문제를 접근 해본다면 해당 방정식을 선형방정식 화 하여 보다 쉽게 풀 수도 있습니다.
만약, 미분방정식이 \frac{dy}{dx} = f( Ax + By + C ) 꼴로 주어진다면,
아얘 전체를 하나로 치환하여 문제를 해결 할 수도 있습니다. ( u = Ax + By + C )
해당 방식은 항상 2.2절의 변수 분리 방정식의 풀이법을 적용할 수 있게 해줍니다.