1.1. 미분 방정식의 정의
먼저, (상 또는 편)도함수의 표기법으로
1). “라이프니츠식 표기법”(Leibniz Notation) : \(\frac{dy}{dx} , \frac{d^2y}{dx^2} , \ldots , \frac{d^ny}{dx^n}\) (편도함수는 \(\frac{∂^ny}{∂x^n}\)를 사용합니다.)
2). “프라임 표기법”(Prime Notation) : \( y’, y^{\prime\prime}, \ldots, y^{(n)}\)
3). “첨자 표기법”(Subscript Notation) : \( y_{x}, y_{xx}, \ldots, y_{\underbrace{xxx\cdots}_{\rm n개}}\)
또한 “점 표기법”(Dot Notation) : \(\dot y, \ddot y, \ldots\) 이지만,
1), 2), 3)을 주로 사용하여 설명할 예정입니다.
“미분방정식”(또는 미방, Differential Equation, DE)은 미분과 관련된 방정식으로서,
독립변수에 대한 함수와 그 함수의 미분계수를 포함하는 방정식을 말합니다.
일반적으로 다음과 같이 표현합니다. ex) \(y'( x ) = f( x, y( x ) )\)
다른 예시로는 : \(y’ = f( x, y )\) , \(\frac{dy}{dx} = xy\) 가 가능합니다.
미분방정식은 미분방정식의 “형태”(Type), “계수”(Order), “선형성”(Linearity)등을 이용하여 미방을 분류 합니다.
1. 형태에 의한 분류
1). 하나의 독립변수에 대해 하나, 또는 그 이상의 미지의 함수의 상도함수(Ordinary Derivatives)만을 포함하는
방정식을 “상미분 방정식”(또는 상미방, Ordinary Differential Equation, ODE)라고 표현합니다.
2). 두 개이상의 독립변수에 대해 하나, 또는 그 이상의 미지의 함수의 편도함수(Partial Derivatives)를 포함하는
방정식을 “편미분 방정식”(또는 편미방, Partial Differential Equation, PDE)라고 표현합니다.
추가로 하나의 독립변수에 대해 두 개, 또는 그 이상의 미지의 함수의 도함수를 포함하는 두 개 이상의 방정식을
“연립 상미분 방정식”(System of Ordinary Differential Equation)이라고 표현 합니다.
2. 계수에 의한 분류
“미분방정식의 계수”(Order of Differential Equation)는 어떠한 미분방정식에서
가장 높은 도함수의 계수를 의미합니다.
ex:) \(\frac{d^2y}{dx^2} + 2(\frac{dy}{dx})^3 – 3y = e^x\)는 \(2\)계와 \(1\)계가 세제곱 되어있는 “\(2\)계 상미분 방정식”입니다.
\(1\)계 상미분 방정식 중에 일부는 \(M( x, y )*dx + N( x, y )*dy = 0\) 꼴로 변환가능 한데,
이를 “미분형식”(Differential Form)이라 표현합니다.
이때, “독립변수 \(x\), 종속변수 \(y\)를 갖는 \(n\)계 상미분 방정식”은 “\(F(x, y, y’, \ldots, y^{(n)}) = 0\)” 으로 표현 합니다.
만약, \(F = y^{\prime\prime} – y’ + 1 = 0\)가 있을 때, \(F = y^{\prime\prime} – y’ + 1 = 0 <=> F(x, y, y’, y^{\prime\prime}) = 0\) 이고,
이를 \(y^{\prime\prime} = y’ – 1\)로도 표현 가능 할 것입니다.
이때, 최고계 도함수 (예시에선 \(y^{\prime\prime}\)) \(= f(x, y’)\) 또는 \(y^{(n)} = f(x, y, y’, \ldots, y^{(n-1)})\)의 형태를
“정규형”(Normal Form)이라고 표현 합니다.
3. 선형성에 의한 분류
어떤 함수 \(F\)가 \(y, y’, \ldots , y^{(n)}\) 에 대해 선형이면,
\(n\)계 상미분 방정식 \(F( x, y, y’, \ldots , y^{(n)} )\) 은 선형(Linear)이라고 표현하고,
\(F\)는 \(( a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \ldots + a_0(x)y – q(x) ) = 0\) 꼴일 것입니다.
(선형은 두 벡터의 \(·\) 곱과 비슷한 형태가 될 것입니다.)
ex:) \(1\)계 선형인 상미분 방정식 \(= q(x) = a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y \)
\(2\) 계 선형인 상미분 방정식 \(= q(x) = a_2(x)\frac{d^2y}{dx^2} + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y \)
1.2. 해
상미분 방정식의 해의 개념을 알아봅시다.
어떤 구간 \(I\) 에서 적어도 \(n\)개의 연속인 도함수를 갖는 임의의 함수 \(f\)를 \(n\)계 상미분 방정식에 대입 했을 때,
미분방정식을 만족한다면, (\(n\)계 상미분 방정식에 잘 맞게 넣는다면,)
이때의 \(f\)를 구간 \(I\)에서 방정식의 “해”(solution)이라고 표현합니다.
그렇기에 구간이 “선 정의” 되어야 상미분 방정식의 해에 대해 생각 해볼 수 있을 것 입니다.
위의 구간 \(I\)를 “정의구간”, “존재구간”, “유효구간”, “해의 정의역” 등으로 표현합니다.
해의 종류는 다음과 같습니다.
1). 구간 \(I\) 에서 \(n\)계 상미분 방정식 \(F(x, y, y’, \ldots, y^{(n)}) = 0\) 에서 유한한 해( 유일하거나 유한 )를 가질 때
이 때의 해를 “자명한 해”(Trivial Solution)라고 표현 합니다.
( 앞으로 배울 “초기 값 문제의 유일한 해”도 “자명한 해” 입니다 .)
미분 방정식을 구할 때, 부정적분(또는 역 도함수)를 진행 하면서 적분 상수 \(c\)가 나오는 경우가 있는데,
\(1\)계 미분 방정식 \(F(x, y, y’) = 0\) 에서 해를 구하는 과정에서 항상 임의의 적분 상수 \(c\)가 하나 나오게 됩니다.
그렇다면 “임의”의 적분 상수 \(c\)에 따라 해의 함수 형태가 바뀔 수 있는데,
이 모두를 아우르는 해의 집합을 \(G(x, y, c) = 0\) 으로 표현 할 수 있습니다.
또한, 이를 “\(1\)개의 매개변수(=\(c\))를 갖는 해의 집합족” 이라고도 표현 합니다.
마찬가지로 \(n\)계 미분 방정식 \(F(x, y, y’, \ldots, y^{(n)}) = 0\) 에서 해를 구하는 과정에서
\(n\)개의 임의의 적분 상수 \(c_i\)가 나오게 됩니다.
이때, 해의 집합을 \(G(x, y, c_1, c_2, \ldots, c_n) = 0\) 으로 표현 가능 하며,
“\(n\)개의 매개변수를 갖는 해의 집합족”이라고도 표현 합니다.
2). 미분방정식의 해는 종속변수 \(y = ?\) 꼴로 구하게 되는데 \(?\)가 독립변수 \(x\) 들과 상수들로만 표현되는
\(f( x )\) 꼴의 함수이면, \(y = f( x )\)가 되는데 이 때의 해를 “양함수 해”(Explicit Solution)라고 표현 합니다.
더 포괄적인 범위의 해를 “음함수 해”(Implicit Solution)라고 표현하는데 정의는 다음과 같습니다.
\(∀x ∈ I, ∃ y( x ) : G( x, y ) = 0 ∧ F( x, y, y’, \ldots, y^{(n)} ) = 0 \)
( \(G\) 는 “해의 집합족”이고 쉽게, \(y = f( x )\)꼴로 나타낼 수 없는 해를 방정식의 형태로 표기 한 것 입니다.)
3). 해의 집합족에 있는 매개변수(=\(c\))들을 특정한 어느 값으로 지정하거나, 어떠한 방법으로 값을 알아내어
매개변수들을 모두 지정한 집합족 (=”임의”의 상수 \(c\)가 들어있지 않는 집합족) 을
미분 방정식의 “특수 해”(Particular Solution) 라고 표현 합니다.
하나의 미분방정식에 대해 다양한 풀이 방법으로 문제를 풀 수 있습니다.
미분방정식을 직접 풀 수도 있고, 어떤 특수 형태의 공식이나 적분 또는 미분등의 다양한 방법이 존재 합니다.
이렇게 다양한 방법으로 해를 구하다가 “자명한 해” 도 나올 수 있고, “해의 집합족” 도 나올 수 있습니다.
이때, “해의 집합족”에서 “임의”의 \(c\)를 지정하면 “특수 해”를 도출해낼 수도 있습니다.
또한, “해의 집합족”에서 “임의”의 \(c\)를 아무리 잘 지정해도 “가능한 모든 해의 집합”의 범위를
도저히 맞출 수 없는 부분도 존재 할 수 있습니다.
( 즉, “가능한 모든 해의 집합”중 일부가 특수해가 될 수 없을 수도 있습니다. )
범위를 맞출 수 있을 때, 그 때의 해들을 \(c\)의 조건에서의 “특수 해”라고 표현하고,
4). 범위를 도저히 맞출 수 없을 때, (즉, 특수 해가 아닌 가능한 해들의 집합 )
그 때의 해를 “특이 해”(Singular Solution)라고 표현 합니다.
( 자명한 해 이외에도 여러 해들이 해의 집합족에 범위에 들지 않을 수 있고 이 모두를 “특이 해”라고 표현 합니다. )
이때, 상미분 방정식의 해는 \(y = ?\) 꼴의 함수 형태인데,
이 함수의 그래프를 “해곡선”(Solution Curve)이라고 표현 합니다.
1.3. 초기값 문제
어떤 미분방정식의 해를 구할 때, 구간에 대한 조건 속에서 해를 구하거나, 매개변수가 나올때,
해당 매개변수를 지정한 조건속에서 해를 구하는 등의 특정 조건을 주어 해의 범위를 줄여 답을 구할 수 있었습니다.
하지만, 이 해들은 유일한(단 하나의 자명한)해는 아닐 수 있습니다.
아무리 범위를 좁혀도 해당 구간내에서 또는 지정된 매개변수를 제외한 매개변수들이
다양한 해를 만들어 낼 수 있기 때문입니다.
그렇다면, 반드시 유일한(단 하나의 자명한) 해를 가져오기 위해서는 어떻게 해야 할까요?
독립변수 \(x\)에 어떠한 값 \(x_0\)에 대해 \(y( x_0 )\)값을 지정한다면,
이 때의 해는 반드시 \(x_0, y( x_0 )\) 을 지나는 해곡선을 가져야 하고
해당 해곡선을 가지는 해는 일반적으로 유일한 해가 되기 떄문입니다.
위의 해를 구하는 일련의 과정을 “기계 초기값 문제”(IVP)라고 표현 하고,
그러기 위한 조건 \(x_0, y( x_0 ), y'( x_0 ), \ldots, y^{(n-1)}( x_0 )\)을 “초기 조건”(IC)이라고 표현 합니다.
기계 초기값 문제는 “존재성” 과 “유일성” 두 가지 측면에 대해 정의해야 하고
각 참, 거짓 구별에 따라 해결 방법이나 다양한 해법들을 적용하여 문제를 접근 할 수 있습니다.
유일한 해의 존재성을 알 수 있는 방법은 다양하지만
“피카르의 정리”로 찾는 방법이 유명하여 짚고 넘어 가보겠습니다.
“피카르(Picard)의 정리”는 다음과 같습니다.
\(R = \{(x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d\} , f(x,y)\)와 \(\frac{∂f}{∂y}\)가 \(R\)에서 연속이다.
=> \(∀ ( x_0, y_0 ) ∈ R \) => \(∃! y( x ) : y( x_0 ) = y_0 ∧ ∀x ∈ (x_0 – h, x_0 + h), h > 0, \frac{∂y}{∂x} = f( x, y( x ) )\)
1.4. 경계값 문제
초기값 문제는 \(n\)계 미분방정식에 대해서 같은 정의역 위치\(( x_0 )\)에서
각 \(0\)차 부터 \(n\)차 까지의 모든 초기조건(IC)을 주면,
값의 유일성과 존재성을 결정할 수 있었습니다.
만약, 초기조건에 각 \(0\)차 부터 \(n\)차까지 같은 정의역 위치가 아닌 각기 다른 위치에서 값을 지정한다면,
결과는 어떻게 될까요?
위의 문제를 “경계값 문제”(BVP) 라고 표현하고,
그러기 위한 조건 \(x_0, y( x_1 ), y'( x_2 ), \ldots, y^{(n-1)}(x_{n-1})\)을 “경계 조건”(BC)이라고 표현 합니다.
경계값 문제는 해를 조금 더 특정하여 값을 유추해낼 수 있지만, 유일성과 존재성을 보장할 수는 없습니다.
유일한 해가 나올수도 있지만, 여러 해가 나올 수도, 해가 없을 수도 있기 때문입니다.
1.5. 방향장
\(1\)계 미분방정식에서 방향장에 대해 설명하기 위해 먼저 기울기에 대해 되 새겨 봅시다.
\(\frac{dy}{dx} = f( x, y )\) 에서 정의 구간 \(I\)에 대한 해 : \(y = y( x )\)는 해의 성질에 따라 구간에서의
미분 가능 하면서 연속인 함수 입니다.
자명한 해의 각 점 \(x_i, y( x_i )\)는 접선들을 하나 씩 가지고 있고
이는 사실 \(f( x_i, y( x_i ) )\) 가 주어진 정규형에 의해 접선의 기울기 값이 됩니다.
그래서 \(f\)를 기울기 함수(Slope Function) 또는 비 함수(Rate Function)으로 표현합니다.
그렇다면 좌표에 \(\frac{dy}{dx} = f( x, y )\) 형태의 방정식의 해들을 그린다고 했을 때,
하나 또는 그 이상의 해 곡선이 좌표에 그려 지는데,
이때, 해 곡선의 기울기를 좌표의 어떤 격자 단위로 화살표로 그려 “흐름을 시각화” 할 수 있을 것 입니다.
이 모든 선형 요소의 집합족(위의 화살표들과 해곡선들)을
\(\frac{dy}{dx} = f( x, y )\) 의 “방향장”(Direction Field) 또는 기울기장(Slope Field) 으로 표현 합니다.