4.1. 모든 계수가 상수인 동차 미분방정식
모든 계수가 상수인 동차 미분방정식은 c_ny^{(n)} + \ldots + c_0y = 0 꼴로 표현 가능하고,
이 미분방정식의 해는 반드시 y = e^{ mx } 가 포함됩니다.
그렇다면, y의 고계 도함수 일수록 e^{ mx }는 m이 제곱되는 형태이므로,
해당 방정식을 m에 대한 n차 방정식으로 m을 구한 후, 일반해를 접근 할 수 있습니다.
이때, 해당 방정식을 m에 대한 n차 방정식으로 표현 한 방정식을 “보조방정식”(Auxiliary Equation)이라고 표현합니다.
2계 동차 미분방정식은 ay^{\prime\prime} + by’ + cy = 0 이고 y = e^{ mx }로 둔다면,
am^2e^{ mx } + bme^{ mx } + ce^{ mx } = 0 = am^2 + bm + c ( e^{ mx } ≠ 0 )
따라서, am^2 + bm + c = 0 인 m에 대한 2차 방정식의 풀이가 됩니다.
1). m이 서로 다른 두 실근을 가질 경우는 일반해 y = c_1e^{ m_1x } + c_2e^{ m_2x } 입니다.
2). m이 중근을 가질 경우는 일반해 y = c_1e^{ m_1x } + c_2xe^{ m_1x } 입니다.
(두번 째 해는 계수 감소법으로 구할 수 있습니다.)
3). m이 켤레 복소수(허) 근을 가질 경우는 m_1, m_2 = a + bi , a – bi 라고 나타내어 질 때,
일반해 y = c_1e^{ ( a + bi )x } + c_2e^{ ( a – bi )x } 이고,
e^{ ( a + bi )x } 를 y_1, e^{ ( a – bi )x } 를 y_2 라고 정의하면
y_1 = e^{ax}( \cos{bx} + i\sin{bx} ) , y_2 = e^{ax}( \cos{bx} – i\sin{bx} ) 로 표현할 수 있습니다.
또한, y = c_1y_1 + c_2y_2 = e^{ax}( c_1( \cos{bx} + i\sin{bx} ) + c_2( \cos{bx} – i\sin{bx} ) ) 이고,
둘을 일차 결합한 y_3 = \frac{ y_1 + y_2 } {2} = e^{ax} \cos{bx} , y_4 = \frac{ y_1 – y_2 } {2i} = e^{ax} \sin{bx} 가 되고
y = c_3y_3 + c_4y_4 도 가능 할 것입니다. ( 서로 독립이고 서로 다른 일차 결합으로 나타내었기 때문 )
따라서, y = c_3 e^{ax} \cos{bx} + c_4 e^{ax} \sin{bx} = e^{ax} ( c_3 \cos{bx} + c_4 \sin{bx} ) 입니다.
유리수나 고계 방정식에 대해서 동일한 방식을 사용하되 유리수는 조립제법을 활용하여 값을 추론하고,
고계 역시 인수분해 식등을 이용하여 값을 추론하여 위의 근의 종류별로 해를 구하면 됩니다.
추가로 특수 한 식 y^{\prime\prime} + k^2y = 0 또는 y^{\prime\prime} – k^2y = 0 은
y^{\prime\prime} + k^2y = 0 은 m이 반드시 ki, -ki 가 되고, 일반해 y = c_1\cos{kx} + c_2\sin{kx} 입니다.
y^{\prime\prime} – k^2y = 0 은 m이 반드시 k, -k 가 되고, 일반해 y = c_1e^{kx} + c_2e^{-kx} 입니다.
또한, 위의 y_3와 y_4 처럼 y = c_1e^{kx} + c_2e^{-kx} = c_3\cosh{kx} + c_4\sinh{kx} 도 될 수 있습니다.
4.2. 미정계수법-(중첩)
비동차 선형 미분방정식의 특수해 y_p를 구하는 방법 중 하나는 미정계수법으로 구하는 것입니다.
아이디어는 g(x) 의 형태를 보고 정해지지 않은 계수의 함수를 y_p 로 먼저 두고,
이후에 계산을 통해 계수를 정하는 방법입니다.
그렇다면 어떤 g(x) 에는 어떤 y_p를 먼저 선정해두는 것이 좋을까요?
다음은 특정 항 g(x)에 대해 좋은 y_p 의 예시를 나열한 것입니다.
1). g(x) = c( 상수 ) => y_p = A 로 두고 계산하여 A를 구하는것이 적당합니다.
2). g(x) = ax + b => y_p = Ax + B 로 두고 계산하여 A, B를 구하는것이 적당합니다.
3). g(x) = ax^4 + \ldots + c => y_p = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx^1 + E 로 두고 계산하여
A, B, C, D, E를 구하는 것이 적당합니다.
4). g(x) = a\sin{bx} => y_p = A\cos{bx} + B\sin{bx} 로 두고 계산하여 A, B를 구하는것이 적당합니다.
5). g(x) = a \cos{bx} => y_p = A \cos{bx} + B \sin{bx} 로 두고 계산하여 A, B를 구하는것이 적당합니다.
6). g(x) = ae^{bx} => y_p = Ae^{bx} 로 두고 계산하여 A를 구하는것이 적당합니다.
7). g(x) 가 1) ~ 6) 형태들의 합성형태( 곱 또는 덧셈 )이면, 각 구간을 1) ~ 6) 에 맞춰 적용하고 다시 합성합니다.
ex) g(x) = ax^2e^{3x} \sin{4x} + bx\cos{5x} => y_p = ( Ax^2 + Bx + C ) (x – D) ( E \cos{4x} + F \sin{4x} ) + ( Gx + H )( I \cos{5x} + J \sin{5x} ) 로 두고
계산하여 A ~ I 를 구하는 것이 적당합니다.
만약, g(x)에 의해 y_p를 선정했지만,
해당 y_p가 여함수에 종속이 되는 경우( 여함수로 y_p 를 나타낼 수 있는 경우 )에는
y_p에 선형식(Ax)을 곱하여 여함수로 나타낼 수 없을 때 까지 제곱합니다.
ex) 상황에 따라, y_p 에 Ae^{ax} 또는 Axe^{ax} 를 대입하였으나 여함수가 e^{cx} + xe^{cx} 꼴이면,
둘은 여함수에 종속되므로 y_p = Ax^2e^{ax} 로 두고 A를 구하는 것이 적당 해집니다.
4.3. 미정계수법-영화연산자
비동차 선형 미분방정식의 특수해 y_p를 구하기 위한 미정계수법 중
영화연산자를 이용해서도 동일하게 값을 구할 수 있습니다.
예를들어 어떤 상수함수 y = k 는 미분연산자 d/dx가 한 번에 k를 0으로 만들 수 있는데,
만약, 미분연산자 d/dx 를 d/dx = D 라고 정의한다면, Dk = 0 가 성립 할 것입니다.
주어진 비동차 방정식 c_ny^{(n)} + \ldots + c_0y = g(x) 을 미분연산자D와 y로 표현한다면,
c_nD^ny + \ldots + c_0y = (c_nD^n + \ldots + c_0)y = g(x) 이 성립 할 것입니다.
이 때, c_nD^n + \ldots + c_0는 y의 계수?느낌으로도 볼 수 있을 것입니다.
위의 선형 함수를 L이라 정의 한다면, L(y) = g(x) 라고 간단하게 표현 가능하고,
정의대로 위 예시의 L은 ( c_nD^n + \ldots + c_0 ) 가 될 것입니다. ( L(y)는 그저 L * y 일 것 입니다.)
위의 함수 L은 y값에 대하여 g(x)가 나오는 함수 인데, (즉, L(y) = g(x) )
만약, L(y) = 0 이 되는 L을 정의 할 수 있다면, 이때의 L을 “영화연산자”(Annihilator)라고 표현합니다.
( 즉, L(y) = 0 => L := 영화연산자 )
방법은 위의 예시 L(y) = L_1(y) = g(x) 에서 g(x)를 0으로 만드는 영화연산자 L_2를 구한다면,
L_2(L_1(y)) = L_2*L_1*y = L_2(g(x)) = 0 이므로 L_2*L_1 이 위의 영화연산자 L이 될 것입니다.
위의 예시 상수함수 y = k 에서는 L_2(L_1(y)) = L_2(k) = 0 가 되는 L_1 은 1 , L_2 는 D 라는 것을 볼 수 있습니다.
영화연산자는 크게 세 가지 유형이 존재하고 각 유형은 각기 다른 변수들을 0으로 만들 수 있습니다.
1). L = D^n 이면 : 1 , x , \ldots , x^{n-1} 을 0으로 만들 수 있습니다.
2). L = (D – a)^n 이면 : e^{ax} , xe^{ax} , \ldots , x^{n-1}e^{ax} 을 0으로 만들 수 있습니다.
3). L = (D^2 – 2aD + a^2 + b^2)^n 이면 : e^{ax}\cos{bx} , e^{ax}\sin{bx} \ , xe^{ax}\cos{bx} , xe^{ax}\sin{bx} \ , \ldots , x^{n-1}\cos{bx} , x^{n-1}\sin{bx} 을 0으로 만들 수 있습니다.
추가로 1), 2), 3), 의 L을 서로 곱하면 그들의 일차결합들도 0으로 만들 수 있습니다.
영화연산자를 이용하여 값을 구하는 과정은 다음과 같습니다.
1). 먼저, 비동차 방정식의 여함수 y_c를 기존과 동일한 방법으로 구합니다.
2). 비동차 방정식 L_1(y) = g(x) 에서 L(y) = L_2(L_1(y)) = L_2(g(x)) = 0 이 되는 L_1 과 L_2를 구합니다.
3). L_1 와 L_2는 선형 함수 이므로 L_2(L_1) = L_1*L_2 = L 이고, L과 위의 세 가지 유형을 가지고
0으로 만들 수 있는 변수들을 모두 y_p 에 표현 해줍니다. (덧셈과 임의의 계수로 중첩접근 때 처럼 표기하면 됩니다.)
4). y_p에서 y_c로 표현되는 항들이 반드시 존재 할텐데 모두 y_p에서 제거 해줍니다.
5). 원래의 비동차방정식 L_1(y) = g(x) 에서 y = y_p로 두면 각 항의 계수들을 모두 구할 수 있을 것입니다.
영화연산자 방식과 중첩접근 방식은 같은 결과들을 도출해내지만 느낌이 다르다 볼 수 있습니다.
중첩접근 방식의 경우 g(x)만을 보고 함수를 판단 한 다음 여함수 y_c로 표현되는 항이 포함되어 있으면,
그때가서 항을 바꾸어 값에 접근(중첩접근) 하는 방식이라면, ( 즉, 어떤 의미로 항의 하한을 정하고 올라가는 방식 )
영화연산자 방식의 경우 처음부터 여함수 y_c를 만드는 L_1과,
( L_1(y) = g(x) 이지만, 여함수를 구할 때는 g(x)를 0으로 두기에
L_1은 여함수 y_c를 만드는 영화연산자가 되는 것 입니다. )
g(x)를 0으로 만드는 L_2를 둘 다 고려 하기 때문에 y_p는 기본적으로 y_c의 항이 포함되면서
반드시, 가능한 모든 경우의 항을 전부 나타 내기 때문에 중첩 접근이 필요가 없고
y_c와 대입으로 판별 할 수 있게 됩니다. ( 즉, 어떤 의미로 항의 상한을 정하고 내려가는 방식 )
둘의 차이점은 분명하지만 결국 식을 보는 순서에 따라 다른 것이므로 결과는 동일하게 나오게 되고,
기호나 상황에 맞게 각 방식들을 사용해서 값을 구하면 됩니다.
4.4. 매개변수 변화법
위의 두 가지 미정계수법은 비동차 방정식에서 특수해를 구하는 하나의 방법으로 사용되었지만,
사실 모든 비동차 방정식에 대해 적용하여 풀기에는 한계가 있습니다.
미정계수법은 선형 방정식의 모든 계수가 상수이면서, g(x)가 정해진 형태여야만 풀 수 있는 제약을 가집니다.
이번 장에서는 이러한 제약 없이 일반적으로 비동차 선형 미분 방정식의 특수해 y_p를 구하는 방법에 대해 다뤄봅시다.
매개변수 변화법은 결론적으로, 하나의 n계 선형 미분 방정식을 n개의 연립 방정식으로 변환하여
연립방정식의 해를 구하는 방식으로,
크래머(Cramer) 법칙을 적용하여 연립 방정식 해를 구하는 일련의 방식을
그대로 사용하여 특수해를 구하는 방법입니다.
구체적으로 n계 선형 미분 방정식을 일반화해서 규칙을 찾아봅시다.
먼저, 1차 미분 방정식 \frac{dy}{dx} + P(x)y = f(x) 은 이전에 적분인자를 통해서 구했던 해
y = e^{-\int P(x) \,dx}\int e^{\int P(x) \,dx}f(x) \,dx + ce^{-\int P(x) \,dx} 에서 ce^{-\int P(x) \,dx}가 일반해 y_c이고,
y = e^{-\int P(x) \,dx}\int e^{\int P(x) \,dx}f(x) \,dx 가 특수해 y_p가 됩니다. (연습삼아 유도 해보시기 바랍니다.)
이를 매개변수 변화법으로 풀어본다면 다음과 같습니다.
이미 여함수 y_c = y_1를 다른 방법으로 구했다고 가정할 때,
매개변수 변화법의 아이디어는 y_p = u_1(x)y_1(x) 형태의 특수해를 구하는 것입니다.
y_p = u_1y_1 이면,
\frac{d}{dx}[u_1y_1] + P(x)u_1y_1 = f(x)이고, u_1\frac{dy_1}{dx} + y_1\frac{du_1}{dx} + P(x)u_1y_1 = f(x)인데,
u_1[\frac{dy_1}{dx} + P(x)y_1] + y_1\frac{du_1}{dx} = f(x) 로 바꿔서 볼 때,
[\frac{dy_1}{dx} + P(x)y_1] 은 y_1가 일반해임을 생각하면 0과 같으므로(즉, \frac{dy_1}{dx} + P(x)y_1 = 0 이므로),
y_1\frac{du_1}{dx} = f(x) 이고, du_1 = \frac{f(x)}{y_1}dx => u_1 = \int\frac{f(x)}{y_1}\,dx 이므로,
최종적으로 특수해 y_p = u_1y_1 = y_1\int\frac{f(x)}{y_1}\,dx = y_1\int f(x)y_1^{-1}\,dx 이며,
여함수 y_1 = e^{-\int P(x)\,dx}를 대입해보면, 위에서 유도한 특수해 y_p와 동일함을 알 수 있습니다.
다음은 2차 미분 방정식 y^{\prime\prime} + P(x)y^{\prime} + Q(x)y = f(x)의 경우에는
여함수 y_c = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)을 동일하게 다른 방법으로 구했다고 가정 할 때,
매개변수 변화법으로 접근하여 해를 구하는 것이
특수해 y_p = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x)을 구하는 방법으로 재해석 할 수 있습니다.
y_p^{\prime\prime} + P(x)y_p^{\prime} + Q(x)y_p = f(x)에 y_p를 위의 식으로 넣어 본다면, 다음과 같습니다.
y_p^{\prime\prime} + P(x)y_p^{\prime} + Q(x)y_p = u_1y_1^{\prime\prime} + 2u_1^{\prime}y_1^{\prime} + u_1^{\prime\prime}y_1+ u_2y_2^{\prime\prime} + 2u_2^{\prime}y_2^{\prime} + u_2^{\prime\prime}y_2 + P[u_1y_1^{\prime} + u_1^{\prime}y_1 + u_2y_2^{\prime} + u_2^{\prime}y_2] + Q[u_1y_1 + u_2y_2] = f(x)
우항에서 u_1(y_1^{\prime\prime} + P[y_1^{\prime}] + Q[y_1]) 과 u_2(y_2^{\prime\prime} + P[y_2^{\prime}] + Q[y_2])를 따로 빼서 본다면 이들은 모두 0일 것입니다.
(y_1과 y_2는 모두 일반해로 y^{\prime\prime} + P[y^{\prime}] + Q[y] = 0의 해가 되기 때문입니다.)
그렇다면, 2u_1^{\prime}y_1^{\prime} + u_1^{\prime\prime}y_1 + 2u_2^{\prime}y_2^{\prime} + u_2^{\prime\prime}y_2 + P[u_1^{\prime}y_1 + u_2^{\prime}y_2] = f(x) 가 되고,
이는, \frac{d}{dx}[u_1^{\prime}y_1 + u_2^{\prime}y_2] + P[u_1^{\prime}y_1 + u_2^{\prime}y_2] + u_1^{\prime}y_1^{\prime} + u_2^{\prime}y_2^{\prime} = f(x)와 같이 작성 할 수 있습니다.
여기서 특수해를 구하는 방법을 일반화 하기 위해 u_1^{\prime}y_1 + u_2^{\prime}y_2 = 0으로 가정한다면,
다음 연립 방정식을 얻어 낼 수 있습니다.
왜 u_1^{\prime}y_1 + u_2^{\prime}y_2 = 0로 가정 했는지는 다음 두 가지 이유가 있습니다.
1). \frac{d}{dx}[u_1^{\prime}y_1 + u_2^{\prime}y_2] + P[u_1^{\prime}y_1 + u_2^{\prime}y_2]을 0으로 식을 쉽게 조작 가능하도록 해줍니다.
2). 임의의 함수식 u_1, u_2에 대해 y_1과 y_2가 일차 독립이 되면,
해 y_p = u_1y_1 + u_2y_2 에 대해서 일반화 하기 보다 쉬워지기 때문에,
일차 독립 조건에 따라 u_1^{\prime}y_1 + u_2^{\prime}y_2 을 0으로 두는 것입니다.
여기서 핵심은 반드시 0으로 둬야만 특수해가 나오는 것은 아니지만,
일반화 과정에서는 모든 과정이 독립적으로 계산 하는 것이 좋기 때문에,
해당 임의의 식에 대해 가장 편한 0을 가정하는 것입니다.
다시 돌아와서 \begin{cases} u_1^{\prime}y_1 + u_2^{\prime}y_2 = 0 \\ u_1^{\prime}y_1^{\prime} + u_2^{\prime}y_2^{\prime} = f(x) \end{cases} 식을 연립하여 해를 구해본다면,
u_1^{\prime} = -\frac{y_2f(x)}{y_1y_2^{\prime} – y_2y_1^{\prime}} 이고, u_2^{\prime} = -\frac{y_1f(x)}{y_1y_2^{\prime} – y_2y_1^{\prime}} 가 됩니다.
이는 크래머(Cramer) 법칙으로 해를 구한다면, u_1^{\prime} = \frac{W_1}{W} (단, W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1^{\prime} & y_2^{\prime} \end{vmatrix}, W_1 = \begin{vmatrix} 0 & y_2 \\ f(x) & y_2^{\prime} \end{vmatrix}) 과
u_2^{\prime} = \frac{W_2}{W} (단, W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1^{\prime} & y_2^{\prime}\end{vmatrix}, W_2 = \begin{vmatrix} y_1 & 0 \\ y_1^{\prime} & f(x) \end{vmatrix}) 로 나타낼 수 있게 됩니다.
이를 통해 본래 목적인 특수해 y_p = u_1y_1 + u_2y_2를 이들을 적분하고 대입하여 구할 수 있습니다.
다만, 위에서 주의 할 점은 필연적으로 특수해는 적분 상수와 y_1, y_2를 곱한 항 c_1y_1, c_2y_2이 생겨야 맞을 것 같지만,
특수 해에는 적분상수를 적지 않은 이유는 이미 여 함수 해 y_c에서 적분 상수를 곱한 형태가 정의되어 있기 때문에,
이에 흡수된 것으로 판단하여 식을 정의하기 때문입니다.
즉, 특수해를 구하는 과정에서의 적분 상수는 고려하지 않아도 무방하다고 볼 수 있을 것입니다.
3차 이상의 미분 방정식에 대해서도 동일하게 식을 구성할 수 있고,
결과적으로 론스키 행렬식의 형태로 해를 구하는 방식이 도출되는 것을 볼 수 있을 것입니다.
(직접 한 번 유도 해보시기 바랍니다.)
만약, 3차 미분 방정식의 경우 론스키 행렬식은
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \\ y_1^{\prime} & y_2^{\prime} & y_3^{\prime} \\ y_1^{\prime\prime} & y_2^{\prime\prime} & y_3^{\prime\prime} \end{vmatrix}, W_1 = \begin{vmatrix} 0 & y_2 & y_3 \\ 0 & y_2^{\prime} & y_3^{\prime} \\ f(x) & y_2^{\prime\prime} & y_3^{\prime\prime}\end{vmatrix}, W_2 = \begin{vmatrix} y_1 & 0 & y_3 \\ y_1^{\prime} & 0 & y_3^{\prime} \\ y_1^{\prime\prime} & f(x) & y_3^{\prime\prime} \end{vmatrix}, W_3 = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & 0 \\ y_1^{\prime} & y_2^{\prime} & 0 \\ y_1^{\prime\prime} & y_2^{\prime\prime} & f(x) \end{vmatrix}로 선 정의 될 때,
u_1^{\prime} = \frac{W_1}{W}, u_2^{\prime} = \frac{W_2}{W}, u_3^{\prime} = \frac{W_3}{W} 를 가지고 특수해 y_p = u_1y_1 + u_2y_2 + u_3y_3를 구할 수 있습니다.