3.1. 행렬표기법
행렬(Matrix)은 행렬의 성분(Entry) 또는 원소(Element)라고 하는 수들의 직사각형 형태의 배열입니다.
행렬의 크기는 그 행렬이 갖는 행과 열의 수로 나타냅니다.
즉, m개의 행과 n개의 열을 같는 행렬의 크기는 “m×n“이라고 표현하고 “m 곱 n” 또는 “m by n” 이라고 읽습니다.
1×m 행렬은 “행행렬”(Row Matrix) 또는 “행벡터”(Row Vector)라고 표현하고,
n×1 행렬은 “열행렬”(Column Matrix) 또는 “열벡터”(Column Vector)라고 표현합니다.
[ a_{ij} ]_{m×n} 으로 표기하여 m×n 임의의 행렬을 표현 할 수도 있습니다.
일반적인 m×n 행렬 A는
각 열을 열벡터 v_1 , \ldots , v_n 로 치환한다면, A = [ v_1 , \cdots , v_n ] 이고,
각 행을 행벡터 v_1 , \ldots , v_m 로 치환한다면, A = \left[ \begin{array}{c} v_1 \\ \vdots \\ v_m \\ \end{array} \right] 입니다.
행렬의 원소 a_{ij} 중 i = j 인 원소를 “대각성분”(Diagonal Entry)이라고 표현합니다.
행렬의 행의 개수와 열의 개수 가 같은 m×m 행렬를 “정사각행렬”(Square Matrix)이라고 표현합니다.
행렬의 대각성분을 제외한 모든 원소가 0인 정사각행렬을 “대각행렬”(Diagonal Matrix)이라고 표현합니다.
행렬의 대각성분이 모두 같은 대각행렬을 “스칼라 행렬”(Scalar Matrix)이라고 표현합니다.
대각성분이 모두 1이면 ( 스칼라행렬이고 ) “단위행렬”(Identity Matrix 또는 “I“)이라고 표현합니다.
두 행렬의 같음 조건은 행렬의 크기가 같고, 각각 같은 열과 행의 원소가 서로 모두 같으면 두 행렬을 같습니다.
같은 크기의 두 행렬 A, B 가 있을 때, 두 행렬의 덧셈을 정의 할 수 있고,
이는 A + B = [ a_{ij} + b_{ij} ]_{m×n}가 됩니다.
어떠한 행렬 A가 있을 때, 행렬의 스칼라 배를 정의 할 수 있고,
이는 c * A = [ c * a_{ij} ]_{m×n}가 됩니다.
스칼라 배에서 c가 음수 일 경우 음의 행렬도 가능하고, -A를 A의 “음”(Negative)이라고 표현합니다.
모든 성분이 0인 행렬을 “영행렬”(Zero Matrix)이라고 표현하고, “0” 또는 “[ 0 ]_{m×n}” 으로 표현 가능합니다.
영행렬은 행렬 덧셈의 항등원입니다.
m×n 행렬 A와 n×r 행렬 B 가 있을 때, 두 행렬의 곱셈에 대해 정의 할 수 있고,
이는 A × B = [ c_{ij} ]_{m×r} ( : c_{ij} = \sum_{k=1}^{n}{a_{ik} · b_{kj}} )가 됩니다.
연립일차방정식을 행렬로 나타낸다면,
방정식의 모든 계수들을 모아둔 행렬 A, 미지수들을 모아둔 벡터 \vec{x}, 방정식의 우항들을 모아둔 벡터 b 로 정의한다면,
A · \vec{x} = b 가 됩니다. 간단히 [A | b] 로도 표기 할 수 있습니다.
어떠한 행렬 A가 있을 때, 행렬 A의 어느 한 열과 행을 기준으로 해당 행렬 A를 분할 할 수 있습니다.
만약, A를 중간의 행과 중간의 열로 분할 한다면, 총 4 등분이되고,
좌상부터 우상, 좌하, 우하 순으로 A_1, A_2, A_3, A_4 이라 한다면, A = [ A_1 | A_2 | A_3 | A_4 ] 로 표현하고,
해당 표현법을 “행렬-열 표현”(Matrix-Column Representation)이라고 부릅니다.
또한, “행-행렬 표현”(Row-Matrix Representation), “행-열 표현”(Row-Column Representation),
“열-행 표현”(Column-Row Representation) 도 존재합니다. ( 자세한 내용은 생략합니다. )
어떠한 행렬 A의 거듭제곱은 A^2로 표기합니다. 그리고 A^r * A^s = A^{r+s}이고, (A^r)^s = A^{r*s} 입니다.
m×n행렬 A의 “전치행렬”(Transpose)은 A^T 라고 표현하고, A^T는 n×m 행렬이고,
A의 i번째 열은 A^T의 i번 째 행이 됩니다. ( A_{ij} = A^T_{ji} )
추가로 13가지 특이행렬들의 수학적 정의를 나열 한 것 입니다.
어떠한 행렬 A = [ A_{ij} | i ∈ N ∧ j ∈ M ] 가 존재할 때,
1). 정방 행렬 A <=> [ A_{ij} | i ∈ N ∧ j ∈ N ]
2). 대각 행렬 A <=> A := 정방 행렬 ∧ (i, j) ∈ N ∧ i ≠ j => A_{ij} = 0 <=> D
3). 단위 행렬 A <=> A := 대각 행렬 ∧ ( i ∈ N => A_{ii} = 1 ) <=> I
4). 스칼라 행렬 A <=> A := 단위행렬 ∧ ( i ∈ N => A_{ii} = c(임의의 상수) ) <=> c · 단위 행렬
5). 전치 행렬 A <=> A = B^T : ( A = [ A_{ij} | i ∈ N ∧ j ∈ M ] , B = [ A_{ji} | i ∈ N ∧ j ∈ M ] )
6). 대칭 행렬 A <=> A = A^T
7). 상삼각 행렬 A <=> ( (i, j) ∈ N ∧ i > j => A_{ij} = 0 ) <=> U ( 우상단이 직각인 삼각형의 형태 )
8). 하삼각 행렬 A <=> ( (i, j) ∈ N ∧ i < j => A_{ij} = 0 ) <=> L ( 좌하단이 직각인 삼각형의 형태 )
9). 띠 행렬 A <=> ( (i, j) ∈ N ∧ | i – j | > k => A_ij = 0 ) : ( k 는 띠의 간격 )
10). 특이 행렬( 비가역 행렬 ) A <=> det( A ) = 0
11). 정칙 행렬( 가역 행렬 ) A <=> det( A ) ≠ 0
12). 역 행렬 A <=> A = B^{-1} : ( A × B = B × A = I )
13). 직교 행렬 A <=> A^T = A^{-1}
3.2. 행렬의 연산
다음은 행렬의 덧셈과 스칼라 배의 대수적 성질을 나열한 것 입니다.
1). A + B = B + A (교환법칙)
2). ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (결합법칙)
3). A + 0 = A (덧셈의 항등원)
4). A + (-A) = 0 (덧셈의 역원)
5). c * (A + B) = c * A + c * B (분배법칙)
6). (c + d) * A = c * A + d * A (분배법칙)
7). c * (d * A) = (c * d) * A (교환법칙)
8). 1 * A = A (스칼라 배의 항등원)
일반적으로 크기가 같은 행렬들 (A_1, \ldots , A_k) 과 스칼라들 (c_1, \ldots , c_k) 이 있다고 가정하면,
둘을 “일차결합”(Linear Combination) 가능하고, \sum_{i=1}^{k}{c_i * A_i} 으로 표현합니다.
이 때, 스칼라들 (c_1, \ldots , c_k) 을 일차결합의 “계수”(Coefficient)라고 표현합니다.
만약, 일차결합 \sum_{i=1}^{k}{c_i * A_i} 가 0일 때,
해가 유일하면서 자명한 해 (c_1 = 0, \ldots , c_k = 0) 이면, “일차독립”(Linearly Indepent)이라고 표현하고,
자명하지 않는 해가 존재하면, “일차종속”(Linearly Depentent)라고 표현합니다.
다음은 행렬의 곱셈의 대수적 성질을 나열 한 것 입니다.
1). A × (B × C) = (A × B) × C (결합법칙)
2). A × (B + C) = A × B + A × C (분배법칙)
3). (A + B) × C = A × C + B × C (분배법칙)
4). k * (A × B) = (k * A) × B = A × (k * B) (스칼라의 교환법칙)
5). I_{m×m} × A_{m×n} = A_{m×n} = A_{m×n} × I_{n×n} (곱셈의 항등원)
위에 내용으로 곱셈의 교환법칙과 역원에 대한 의문점이 존재 할 수 있습니다.
일단, 역원의 경우 다음 장에 설명되어 있습니다. ( 존재 할 수도 있고 아닐수도 있습니다. )
곱셈의 교환법칙은 기본적으로 성립하지 않습니다.
연산 위치에 따라 다른 원소들이 적용되기 때문에 다른 결과가 나올 수 있습니다.
다음은 전치행렬의 가지는 대수적 성질을 나열 한 것 입니다.
1). (A^T)^T = A
2). (A + B)^T = A^T + B^T
3). (k * A)^T = k * (A^T)
4). (A × B)^T = (B^T) × (A^T)
5). r > 0 , r ∈ ℕ => (A^r)^T = (A^T)^r