선형대수학 3

3.1. 행렬표기법

행렬(Matrix)은 행렬의 성분(Entry) 또는 원소(Element)라고 하는 수들의 직사각형 형태의 배열입니다.

행렬의 크기는 그 행렬이 갖는 행과 열의 수로 나타냅니다.


즉, \(m\)개의 행과 \(n\)개의 열을 같는 행렬의 크기는 “\(m×n\)“이라고 표현하고 “\(m\) 곱 \(n\)” 또는 “\(m\) by \(n\)” 이라고 읽습니다.

\(1×m\) 행렬은 “행행렬”(Row Matrix) 또는 “행벡터”(Row Vector)라고 표현하고,

\(n×1\) 행렬은 “열행렬”(Column Matrix) 또는 “열벡터”(Column Vector)라고 표현합니다.

\([ a_{ij} ]_{m×n}\) 으로 표기하여 \(m×n\) 임의의 행렬을 표현 할 수도 있습니다.


일반적인 \(m×n\) 행렬 \(A\)는

각 열을 열벡터 \(v_1 , \ldots , v_n \) 로 치환한다면, \(A = [ v_1 , \cdots , v_n ]\) 이고,

각 행을 행벡터 \(v_1 , \ldots , v_m\) 로 치환한다면, \(A = \left[ \begin{array}{c} v_1 \\ \vdots \\ v_m \\ \end{array} \right]\) 입니다.

행렬의 원소 \(a_{ij}\) 중 \(i = j\) 인 원소를 “대각성분”(Diagonal Entry)이라고 표현합니다.


행렬의 행의 개수와 열의 개수 가 같은 \(m×m\) 행렬를 “정사각행렬”(Square Matrix)이라고 표현합니다.

행렬의 대각성분을 제외한 모든 원소가 \(0\)인 정사각행렬을 “대각행렬”(Diagonal Matrix)이라고 표현합니다.

행렬의 대각성분이 모두 같은 대각행렬을 “스칼라 행렬”(Scalar Matrix)이라고 표현합니다.

대각성분이 모두 \(1\)이면 ( 스칼라행렬이고 ) “단위행렬”(Identity Matrix 또는 “\(I\)“)이라고 표현합니다.


두 행렬의 같음 조건은 행렬의 크기가 같고, 각각 같은 열과 행의 원소가 서로 모두 같으면 두 행렬을 같습니다.


같은 크기의 두 행렬 \(A, B\) 가 있을 때, 두 행렬의 덧셈을 정의 할 수 있고,

이는 \(A + B = [ a_{ij} + b_{ij} ]_{m×n}\)가 됩니다.

어떠한 행렬 \(A\)가 있을 때, 행렬의 스칼라 배를 정의 할 수 있고,

이는 \(c * A = [ c * a_{ij} ]_{m×n}\)가 됩니다.

스칼라 배에서 \(c\)가 음수 일 경우 음의 행렬도 가능하고, \(-A\)를 \(A\)의 “음”(Negative)이라고 표현합니다.


모든 성분이 \(0\)인 행렬을 “영행렬”(Zero Matrix)이라고 표현하고, “\(0\)” 또는 “\([ 0 ]_{m×n}\)” 으로 표현 가능합니다.

영행렬은 행렬 덧셈의 항등원입니다.


\(m×n\) 행렬 \(A\)와 \(n×r\) 행렬 \(B\) 가 있을 때, 두 행렬의 곱셈에 대해 정의 할 수 있고,

이는 \(A × B = [ c_{ij} ]_{m×r} ( : c_{ij} = \sum_{k=1}^{n}{a_{ik} · b_{kj}}\) )가 됩니다.


연립일차방정식을 행렬로 나타낸다면,

방정식의 모든 계수들을 모아둔 행렬 \(A\), 미지수들을 모아둔 벡터 \(\vec{x}\), 방정식의 우항들을 모아둔 벡터 \(b\) 로 정의한다면,

\(A · \vec{x} = b\) 가 됩니다. 간단히 \([A | b]\) 로도 표기 할 수 있습니다.


어떠한 행렬 \(A\)가 있을 때, 행렬 \(A\)의 어느 한 열과 행을 기준으로 해당 행렬 \(A\)를 분할 할 수 있습니다.

만약, \(A\)를 중간의 행과 중간의 열로 분할 한다면, 총 4 등분이되고,

좌상부터 우상, 좌하, 우하 순으로 \(A_1, A_2, A_3, A_4\) 이라 한다면, \(A = [ A_1 | A_2 | A_3 | A_4 ]\) 로 표현하고,

해당 표현법을 “행렬-열 표현”(Matrix-Column Representation)이라고 부릅니다.


또한, “행-행렬 표현”(Row-Matrix Representation), “행-열 표현”(Row-Column Representation),

“열-행 표현”(Column-Row Representation) 도 존재합니다. ( 자세한 내용은 생략합니다. )


어떠한 행렬 \(A\)의 거듭제곱은 \(A^2\)로 표기합니다. 그리고 \(A^r * A^s = A^{r+s}\)이고, \((A^r)^s = A^{r*s}\) 입니다.


\(m×n\)행렬 \(A\)의 “전치행렬”(Transpose)은 \(A^T\) 라고 표현하고, \(A^T\)는 \(n×m\) 행렬이고,

\(A\)의 \(i\)번째 열은 \(A^T\)의 \(i\)번 째 행이 됩니다. ( \(A_{ij} = A^T_{ji}\) )


추가로 13가지 특이행렬들의 수학적 정의를 나열 한 것 입니다.

어떠한 행렬 \(A = [ A_{ij} | i ∈ N ∧ j ∈ M ]\) 가 존재할 때,

1). 정방 행렬 \(A <=> [ A_{ij} | i ∈ N ∧ j ∈ N ]\)

2). 대각 행렬 \(A <=> A := 정방 행렬 ∧ (i, j) ∈ N ∧ i ≠ j => A_{ij} = 0 <=> D\)

3). 단위 행렬 \(A <=> A := 대각 행렬 ∧ ( i ∈ N => A_{ii} = 1 ) <=> I\)

4). 스칼라 행렬 \(A <=> A := 단위행렬 ∧ ( i ∈ N => A_{ii} = c(임의의 상수) ) <=> c · 단위 행렬\)

5). 전치 행렬 \(A <=> A = B^T : ( A = [ A_{ij} | i ∈ N ∧ j ∈ M ] , B = [ A_{ji} | i ∈ N ∧ j ∈ M ] )\)

6). 대칭 행렬 \(A <=> A = A^T\)

7). 상삼각 행렬 \(A <=> ( (i, j) ∈ N ∧ i > j => A_{ij} = 0 ) <=> U\) ( 우상단이 직각인 삼각형의 형태 )

8). 하삼각 행렬 \(A <=> ( (i, j) ∈ N ∧ i < j => A_{ij} = 0 ) <=> L\) ( 좌하단이 직각인 삼각형의 형태 )

9). 띠 행렬 \(A <=> ( (i, j) ∈ N ∧ | i – j | > k => A_ij = 0 )\) : ( k 는 띠의 간격 )

10). 특이 행렬( 비가역 행렬 ) \(A <=> det( A ) = 0\)

11). 정칙 행렬( 가역 행렬 ) \(A <=> det( A ) ≠ 0\)

12). 역 행렬 \(A <=> A = B^{-1} : ( A × B = B × A = I )\)

13). 직교 행렬 \(A <=> A^T = A^{-1}\)


3.2. 행렬의 연산

다음은 행렬의 덧셈과 스칼라 배의 대수적 성질을 나열한 것 입니다.

1). \(A + B = B + A\) (교환법칙)

2). \(( A + B ) + C = A + ( B + C )\) (결합법칙)

3). \(A + 0 = A\) (덧셈의 항등원)

4). \(A + (-A) = 0\) (덧셈의 역원)

5). \(c * (A + B) = c * A + c * B\) (분배법칙)

6). \((c + d) * A = c * A + d * A\) (분배법칙)

7). \(c * (d * A) = (c * d) * A\) (교환법칙)

8). \(1 * A = A\) (스칼라 배의 항등원)


일반적으로 크기가 같은 행렬들 \((A_1, \ldots , A_k)\) 과 스칼라들 \((c_1, \ldots , c_k)\) 이 있다고 가정하면,

둘을 “일차결합”(Linear Combination) 가능하고, \(\sum_{i=1}^{k}{c_i * A_i}\) 으로 표현합니다.

이 때, 스칼라들 \((c_1, \ldots , c_k)\) 을 일차결합의 “계수”(Coefficient)라고 표현합니다.


만약, 일차결합 \(\sum_{i=1}^{k}{c_i * A_i}\) 가 \(0\)일 때,

해가 유일하면서 자명한 해 \((c_1 = 0, \ldots , c_k = 0)\) 이면, “일차독립”(Linearly Indepent)이라고 표현하고,

자명하지 않는 해가 존재하면, “일차종속”(Linearly Depentent)라고 표현합니다.


다음은 행렬의 곱셈의 대수적 성질을 나열 한 것 입니다.

1). \(A × (B × C) = (A × B) × C\) (결합법칙)

2). \(A × (B + C) = A × B + A × C\) (분배법칙)

3). \((A + B) × C = A × C + B × C\) (분배법칙)

4). \(k * (A × B) = (k * A) × B = A × (k * B)\) (스칼라의 교환법칙)

5). \(I_{m×m} × A_{m×n} = A_{m×n} = A_{m×n} × I_{n×n}\) (곱셈의 항등원)


위에 내용으로 곱셈의 교환법칙과 역원에 대한 의문점이 존재 할 수 있습니다.

일단, 역원의 경우 다음 장에 설명되어 있습니다. ( 존재 할 수도 있고 아닐수도 있습니다. )

곱셈의 교환법칙은 기본적으로 성립하지 않습니다.

연산 위치에 따라 다른 원소들이 적용되기 때문에 다른 결과가 나올 수 있습니다.


다음은 전치행렬의 가지는 대수적 성질을 나열 한 것 입니다.

1). \((A^T)^T = A\)

2). \((A + B)^T = A^T + B^T\)

3). \((k * A)^T = k * (A^T)\)

4). \((A × B)^T = (B^T) × (A^T)\)

5). \(r > 0 , r ∈ ℕ => (A^r)^T = (A^T)^r\)


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