1.1 벡터의 정의
(먼저, 벡터 및 행렬 표기법을 작성하는 것이 힘든 관계로 임의의 표기법으로 설명 할 예정입니다.)
“벡터”(Vector)는 어떠한 점 \(A\)에서 \(B\)까지의 이동에 대한 유향( 방향이 있는 )선분입니다.
이 때, \(A\)에서 \(B\)까지의 벡터를 \(\overrightarrow{AB}\)로 표현하고,
이 벡터를 \(a\)라고 한다면 \(\vec{a}\) 또는 “벡터 \(a\)” 라고 표현합니다.
이 때, \(A\)를 \(\vec{a}\)의 “시점”(Initial Point 또는 Tail),
\(B\)를 \(\vec{a}\)의 “종점”(Terminal Point 또는 Head)이라고 표현합니다.
벡터의 특징은 시점과 종점이 절대적 좌표에 자유롭기 때문에, 이동의 제약이 없습니다.
그저, \(A\)와 \(B\)의 상대적 좌표만을 나타내는 관념이므로 이 부분을 유념하여 사용합니다.
절대 좌표의 원점 \(O\) 에 \(A\)를 맞추고, \(P\)는 \(B\) 가 \(A = O\)일 때의 상대적 좌표 지점이라고 한다면,
(평행 이동하여 원점에 맞춘다면, )
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OP} = \vec{P}\) 라고 할 수 있습니다.
어떠한 점 \(A\)를 좌표 \((3, 2)\)에 위치한다면, \(\overrightarrow{OA}\)는 \([ 3 – 0, 2 – 0 ] = [3, 2]\) 라고 표현합니다. ( \(O\)는 \((0, 0)\) )
이 때, 벡터의 각 원소를 “성분”(component)이라고 표현합니다.
원점 \(O\)는 \((0, 0)\)으로 약속되었고, 이를 “영벡터”(Zero Vector)라고 표현합니다.
\(\overrightarrow{OA}\)는 시점이 원점인 경우인데 이를 “표준위치”(Standard Position)에 있다고도 표현합니다.
또한, 위의 \(A\)와 \(O\)는 두 개의 성분으로 되어있고, 이 두 점과 두 점 상의 벡터는 \(ℝ^2\) 공간에 존재 합니다.
1.2 벡터의 연산
기존의 벡터들로 새로운 벡터를 만드는 방법은 이론적으로 2가지 방법으로 모든 새로운 벡터를 만들 수 있습니다.
1). 벡터의 덧셈 : \(\vec{a} = [3, 2] , \vec{b} = [4, 1] => \vec{c} = [ 3 + 4, 2 + 1 ] = [7, 3] = \vec{a} + \vec{b}\)
이렇게 두 벡터의 “덧셈”(Vector Addition)이 가능합니다.
2). 벡터의 스칼라 배 : \(\vec{a} = [3, 2], c = 3 => c · \vec{a} = 3 · [3, 2] = [ 3 * 3, 3 * 2 ] = [9, 6]\)
이렇게 벡터의 “스칼라 배”(Scalar Multiplication)가 가능합니다.
다음은 벡터의 덧셈과 스칼라 배로 설명 가능 한 연산들을 나열 해 보았습니다.
1). 음벡터 : \(\vec{a} = [3, 2] => -\vec{a} = -1 · \vec{a} = [ -1 * 3, -1 * 2 ] = [-3, -2]\)
2). 벡터의 뺄셈 : \(\vec{a} = [3, 2] , \vec{b} = [4, 1] => \vec{c} = [ 3 – 4, 2 – 1 ] = [-1, 1] = \vec{a} – \vec{b}\)
이외에 대수적 성질로 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 항등원과 역원 전부 정의 가능합니다.
벡터는 가로로 원소를 나열한 “행 벡터” 와 세로로 원소를 나열한 “열 벡터” 두 가지를 주로 사용하고
수학에서 열 벡터가 오히려 편리한 부분도 있어 자주 쓰이는 편이지만,
작성 편의상 행 벡터를 주로 사용하여 표기할 예정입니다.
\(( v_1 , \ldots , v_k , v ) ∈ ℝ^n => ∃ [ c_1 , \cdots , c_k ] : v = \sum_{i=1}^{k}{c_i · v_i}\) 입니다. ( \(ℝ^n\)은 \(n\)차 벡터 공간을 뜻합니다. )
이를, \(( v_1 , \ldots , v_k )\) 의 “일차결합”(Linear Combination) 이라고 표현 합니다.
그리고, \((c_1 , \ldots , c_k )\) 를 일차결합의 “계수”(Coefficient)라고 표현 합니다.
추가로 벡터의 각 원소가 \(0\)과 \(1\)같은 두 수로만 정의된 벡터를 “이진벡터”(또는 부울벡터)라고 표현하고,
덧셈과 곱셈의 결과가 이진의 범위를 초과하면 “나머지연산”(modulo)을 사용하여 닫힌 연산을 보장합니다.
1.3 벡터의 방향과 크기
두 벡터의 곱셈 연산중 하나인 “스칼라적”(Scalar Product, 도트 곱, Dot Product)은 다음과 같이 정의 됩니다.
두 벡터 \(\vec{A} = [ a_1 , \cdots , a_k ], \vec{B} = [ b_1 , \cdots , b_k ]\)는 두 벡터의 원소의 개수가 같다면, 스칼라적이 가능하고,
\(A\)와 \(B\)의 스칼라적은 \(\vec{A} · \vec{B} = \sum_{i=1}^{k}{a_i * b_i}\) 입니다.
(이 연산은 “내적”( Inner Product )과 도트 곱의 표현으로 더 많이 쓰입니다.)
도트 곱은 교환법칙, 분배법칙, 항등원이 가능하고 역원은 정의 되지 않습니다. ( \(∵\) 정의역공간 \(≠\) 공역공간 )
어떠한 벡터 \(\vec{A}\)의 “크기”(norm, 노름) <=> 벡터의 “길이”(Length) <=> \(||\vec{A}|| = \sqrt{\vec{A} · \vec{A}}\) 입니다.
그리고, 크기가 \(1\)인 벡터를 “단위벡터”(Unit Vector)라고 표현 하고,
어떠한 벡터를 같은 방향의 단위벡터로 변환하는 과정을 벡터의 “정규화”(Normalization) 라고 표현합니다.
그 중에서도 벡터에 정의된 기본 성분 중 하나를 \(1\)로 두고,
이를 제외한 나머지 모든 기본 성분이 영원( \(0\) )으로 되어있는 단위 벡터인 벡터들을
“기본 단위벡터”(Standard Unit Vector) 라고 표현합니다.
(각 성분마다 기본 단위벡터가 정의되니 기본 단위벡터의 개수는 벡터공간의 차수와 같을 것입니다.)
두 벡터의 “거리”(Distance)는 두 벡터의 뺄셈을 진행하고 크기를 구한 것으로
두 벡터 \(\vec{A}, \vec{B}\)에 대해 \(\vec{A}\)와 \(\vec{B}\)사이의 거리 <=> \(d(\vec{A}, \vec{B}) = || \vec{A} – \vec{B} ||\) 라고 할 수 있습니다.
두 벡터의 내적은 각 원소간의 곱과 총합으로 구할 수 있지만,
두 벡터 사이 각 \(θ\)에 대해, 두 벡터의 내적은 두 벡터의 크기와 \(\cos{θ}\) 인 세 항의 곱과 같습니다.
이를 통하여 식을 조금 유도 해보면 \(\cos{θ}\) = ( 두 벡터의 내적 / 두 벡터의 크기를 곱 ) 의 결과를 얻을 수 있습니다.
두 벡터 \(A, B\)에 대해 \(\cos{θ}\) = \(\frac{\vec{A} · \vec{B}} {||\vec{A}|| * ||\vec{B}||}\) : \(θ\) = 두 벡터의 사이 각 ; 이 성립합니다.
두 벡터의 내적이 \(0\)이 되면 \(\cos{\frac{π} {2}} = 0\) 이고, 이는 두 벡터가 “직교”(orthogonality) 한다고 표현합니다.
1.4 벡터 공간에서의 정리들
삼각 부등식은 해석학에서 절댓값 파트에서 다룬 적이 있을 것입니다.
벡터공간에서의 삼각 부등식은 특히 중요하므로 짚고 넘어 가겠습니다.
\((a, b) ∈ ℝ^n => || a + b || ≤ ||a|| + ||b||\) ; 이를 “삼각 부등식”(Triangle Inequality)이라고 표현합니다.
벡터 공간에서 보면 이름이 “삼각” 부등식 인 이유를 알 수 있습니다.
삼각형의 두 변의 길이 합은 반드시 다른 한 변의 길이보다 크기 때문에 이 등식이 성립합니다.
( 여기서 해당 정리의 이름의 유래를 짐작 할 수 있습니다. )
삼각형 하면 떠오르는 “피타고라스 정리”(Pythagoras Theorem)는 다음과 같습니다.
\((a, b) ∈ ℝ^n => || a + b ||^2 = ||a||^2 + ||b||^2 <=> 0 = \cos{ \frac{π} {2} } = \frac{a · b} {||a|| * ||b||}\)직각 삼각형의 필요충분조건은 삼각형의 두 변의 제곱값의 합은 큰 한 변의 제곱 값이 된다는 의미 입니다.
또한, “코시-슈바르츠 부등식”(Cauchy-Schwarz Inequality)도 정의하면 다음과 같습니다.
\((a, b) ∈ ℝ^n => || a · b ||^2 ≤ ||a||^2 * ||b||^2 => || a · b || ≤ ||a|| * ||b||\)평소에 알고 있는 코시-슈바르츠 부등식은 두 벡터의 제곱 합의 관계식이지만,
벡터의 크기는 정의 상, 제곱 합에 루트를 씌운 것으로 위의 식은 성립합니다.
( 양변이 항상 양수이고 루트를 씌워도 부등호는 같기 때문입니다. )
두 벡터의 곱셈 중에 3차원에서만 사용가능한 “외적”(Cross Product) 에 대해 정의하면 다음과 같습니다.
3차원 벡터 \(\vec{A} = [\begin{array}{ccc} a_1 ,& a_2 ,& a_3 \end{array}]\) 와 \(\vec{B} = [\begin{array}{ccc} b_1 ,& b_2 ,& b_3\end{array}]\) 가 있을 때,
\(\vec{A} × \vec{B} = [\begin{array}{ccc} a_2*b_3 – a_3*b_2 ,& a_3*b_1 – a_1*b_3 ,& a_1*b_2 – a_2*b_1\end{array}]\) 라고 정의합니다.
( 참고로 \(\vec{A} × \vec{B} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{array}\right|\) 이므로 위와 같이 정의 할 수 있게 됩니다. ) ( \(\vec{e}\)는 기저벡터입니다. )
원래 3차원 벡터에서의 정의 이지만 2차원의 두 벡터에서 외적을 하면 차원이 늘어난 느낌으로 사용할 수 있습니다.
2차원 벡터 \(\vec{A} = [\begin{array}{cc} a_1 ,& a_2 \end{array}]\) 와 \(\vec{B} = [\begin{array}{cc} b_1 ,& b_2 \end{array}]\) 은 \(\vec{A} = [\begin{array}{ccc} a_1 ,& a_2 ,& 0 \end{array}]\) 와 \(\vec{B} = [\begin{array}{ccc} b_1 ,& b_2 ,& 0 \end{array}]\) 라고 할 수 있으므로 외적은
\(\vec{A} × \vec{B} = [ \begin{array}{ccc} a_2*b_3 – a_3*b_2 ,& a_3*b_1 – a_1*b_3 ,& a_1*b_2 – a_2*b_1 \end{array}] = [ \begin{array}{ccc} 0,& 0,& a_1*b_2 – a_2*b_1 \end{array}]\) 로 정의됩니다.
1.5 벡터 공간과 직선과 면
어떠한 직선 \(L\)이 존재하고, \(L\)위에 존재 하는 점 \(A\)와, \(L\)위에 존재 하지 않은 점 \(B\)가 있을 때,
\(\overrightarrow{AB}\)를 생각해 볼 수 있을 것 입니다. ( \(A ∈ L , B ∉ L : L\)은 어떠한 직선 \(=> ∃ \overrightarrow{AB}\) )
그리고, 점 \(B\)에서 직선 \(L\)과 수직관계의 직선을 정의 할 수 있고, 이 직선은 자명 할 것입니다.
(시점이 \(B\)로 고정되고, 방향이 \(L\)에 수직인 한 방향 밖에 없으므로 해당 직선은 자명합니다. )
이 자명한 직선과 직선 \(L\)이 수직으로 만나는 점을 \(P\)라고 한다면, \(\overrightarrow{AP} · \overrightarrow{PB} = 0\) 일 것입니다.
이 때, 직선과 같은 방향을 가리키는 \(\overrightarrow{AP}\)를 \(L\)위로의 \(\overrightarrow{AB}\)의 “사영”(Projection)이라고 표현합니다.
( 줄여서, \(\overrightarrow{AP} = proj_{L}( \overrightarrow{AB} )\) 라고 표현합니다. )
\(proj_{L}( \overrightarrow{AB} )\) 은 \(\overrightarrow{AP}\)와 \(\overrightarrow{AB}\)에 대해,
\(\overrightarrow{AP} · \overrightarrow{AB} = \cos{θ} · ||\overrightarrow{AP}|| * ||\overrightarrow{AB}||\) ( 이 때, \(θ\) 는 직선 \(L\)과 \(\overrightarrow{AB}\)사이의 각입니다. )
따라서, \(\overrightarrow{AP}\) 는 \(||\overrightarrow{AP}|| · \frac{\overrightarrow{AP}} {||\overrightarrow{AP}||}\) 이고, \(||\overrightarrow{AP}|| = ||\overrightarrow{AP}|| * \cos{θ}\) 이므로,
\(\overrightarrow{AP} = proj_{L}( \overrightarrow{AB} ) = ( \vec{L} · \frac{\overrightarrow{AB}} {||\vec{L}||^2} ) · \vec{L}\) 이 성립합니다. ( 또는 \(proj_{L}( \overrightarrow{AB} ) = \frac{ \vec{L} · \overrightarrow{AB}} {\vec{L} · \vec{L}} · \vec{L}\) )
우리가 “직선”에 대해 정의 할 때, 일차식으로 된 독립변수 \(x\)와 종속변수 \(y\)의 관계식의 직선을 떠올리는 데,
기하적으로는 \(ℝ^2\) 공간에서 어떠한 벡터와 어떠한 점에 대해
어떠한 점을 시점으로 하는 어떠한 벡터와 수직의 관계를 갖는 모든 벡터들의 종점의 집합이 “직선”의 형태가 되고,
이는 어떠한 점과 벡터에 대해 자명한 값을 가집니다.
위의 조건 속의 어떠한 벡터를 \(\vec{A}\)라고 하고 자명한 직선을 \(L\)이라고 한다면,
\(\vec{A}\)를 \(L\)에 대한 “법선벡터”(Normal Vector)라고 표현 합니다. ( \(\vec{A} · \vec{L} = 0\) 입니다. )
직선 위에 임의의 두 점을 잡고 각 점을 시점과 종점으로 하는 모든 벡터들에 대해,
일부 임의의 벡터 \(\vec{v}\)가 어떠한 벡터 \(\vec{d}\)와 어떠한 상수 \(t\)와의 두 곱으로 나타낼 수 있는 \(\vec{d}\)가 존재 할 때, ( \(∃ \vec{d} : \vec{v} = t * \vec{d}\) )
이 때, \(\vec{d}\)를 직선에 대한 “방향벡터”(Direction Vector)라고 표현합니다.
( 직선 \(L\)은 \([ x, y ] = t * \vec{d}\) 라고 할 수 있습니다. )
다음은 어떠한 공간 \(ℝ^n\) 에서 정의 되는 표준형과 벡터형에 대해 다루겠습니다.
\(ℝ^n\) 차원에서 어떠한 벡터에 대하여 모든 정의 가능한 법선벡터들을 모은다면,
해당 벡터들의 종점의 집합은 \(ℝ^{n-1}\)이 될 것입니다.
( 2차원이면 어떤 벡터와 수직인 직선(1차원)이고, 3차원이면 벡터와 수직인 평면(2차원)의 형태가 되겠죠? )
이를 조금 더 일반화 하면 ( 방정식의 개수 ) + ( 대상의 차원 ) = 공간의 차원 이 성립합니다.
위의 예시에서는 방정식의 개수는 법선 벡터 종류가 될 것이고, 대상의 차원은 수직인 어떠한 집합이 될 것입니다.
여기서 대상을 “초평면”(hyperplane)이라고도 표현합니다.
공간 \(ℝ^n\) 에서 일차 방정식(벡터) \(N\) 에서 정의되는 대상 (\(ℝ^{n-1}\))가 존재하고,
그 위의 임의의 점 \(p\)에 대해 \(N · ( \vec{x} – \vec{p} ) = 0\) : ( \(\vec{x}\)는 방정식의 미지수들을 모아놓은 벡터 )가 성립하고
이를 다르게 표현하면, \(N · \vec{x} = N · \vec{p}\) 라고도 표현 할 수 있습니다.
이 표현 방법들을 대상의 방정식의 “표준형”(Normal Form)이라고 표현합니다.
이 표준형을 전개하여 [각 성분의 계수] · [각 성분의 미지수] = 상수 ; 방식인
평소에 우리가 흔히 사용했던 일차 방정식의 형태를 “일반형”(General Form)이라고 표현합니다.
또 다른 표현으로, \(\vec{x} = \vec{p} + [ t_1 · \vec{d_1} , \cdots , t_{n-1} · \vec{d_{n-1}} ]\) 라고도 표현 가능하고
이 표현 방법을 대상의 방정식의 “벡터형”(Vector Form)이라고 표현합니다.
이때, \(( t_1 , \ldots , t_{n-1})\) 들을 매개변수라고 칭하고 이 들을 사용하여 방정식을 구성하면,
“매개변수 방정식” 또는 “표준 방정식”이라고 표현합니다.