6.1. 고유값과 고유벡터 1
고유 값은 어떤 정사각행렬 \(A\)와 스칼라 \(\lambda\)가 존재 할 때, \(Ax = \lambda x\) 를 만족하는 \(0\)이 아닌 벡터 \(x\)가 존재하면,
\(\lambda\)를 행렬 \(A\)의 “고유값”(EigenValue)이라 정의하고, 벡터 \(x\)를 고유값 \(\lambda\)에 대응하는 “고유벡터”(EigenVector) 라고 정의합니다.
고유 값과 고유벡터를 그냥 받아들이기에는 의미가 없는 것 같다는 생각이 들어
선형변환과 비슷한 느낌으로 최대한 해석해본다면, 다음의 내용을 생각 할 수 있었습니다.
먼저 어떤 행렬 \(A\)가 존재하고, \(A\)를 선형변환으로도 볼 수 있을 것입니다.
그렇다면, \(A\)를 사용해서 변환하는 대상으로 벡터 \(v\)를 선정했다면,
벡터 \(v\)에서 \(A\)가 언급 한대로 차원 개수 만을 둔 채로 차원을 늘리거나 줄이거나 돌려서 나온
결과 벡터 \(Av\)를 도출 해낼 수 있을 것입니다.
이 때, 만약, \(Av\)도 벡터 \(v\)와 같은 방향을 바라본다면, \(v\)는 \(A\)와 조금 더 특별한 무언가가 있다는 느낌을 받을 것 입니다.
즉, \(A\)로 변환을 여러 번 진행해도 방향은 똑같으니 \(v\)를 고유벡터,
한 번 변환 한 결과의 길이를 고유값으로 따로 취급하는 것 같다고 생각했습니다.
정사각 행렬 \(A\)와 \(\lambda\)를 \(A\)의 고유 값으로 정의한다면, 영벡터와 \(\lambda\)에 대응하는 모든 고유벡터들의 집합을
\(\lambda\)의 “고유공간”(Eigenspace)이라 표현하고, \(E_A\)로도 표현합니다.
그렇다면, 고유 값과 고유벡터는 어떻게 구하는 걸까요?
식에서 \(Ax = \lambda x\)는 \(Ax = \lambda Ix\) 와 같을 것이고, 이는 \(( A – \lambda I ) x = 0\) 이라고 볼 수 있고,
해당 식은 해가 \(0\)인 값을 제외하고 반드시 해가 없거나 해가 무수히 많은 두 가지 경우로 나뉘게 될 것입니다.
이를 통해 해가 무수히 많은 경우가 우리가 구해야 될 값임 알 수 있고,
이는 \(( A – \lambda I )\) 가 비가역 행렬이 되어야 하고, \(| A – \lambda I | = 0\) 과 동치임을 알 수 있을 것입니다.
즉, 고유 값은 \(det( A – \lambda I ) = 0\) 인 \(\lambda\)가 고유 값이 됩니다.
위의 \(det( A – \lambda I ) = 0\) 은 \(A\)의 “특성방정식”(Characteristic Equation)이라고 표현합니다.
\(det( A – \lambda I )\) 를 실제로 전개 해보면 \(\lambda\)에 관한 \(A\)의 “특성다항식”(Characteristic Polynomial)을 얻을 수 있고,
특성다항식은 \(n \times n\) 행렬이면, 최대 차수가 \(n\)인 다항식이 됩니다.
고유값을 구하는 방법은 \(det( A – \lambda I ) = 0\) 의 해를 찾으면 된다고 하였습니다.
그렇다면, 고유벡터는 어떻게 구해야 할까요?
행렬과 고유값이 주어졌다고 가정 할 때, 고유벡터를 구하는 방법은 다음과 같습니다.
각 구한 고유값을 \(A – \lambda I\)에 대입하여 행렬을 구한 다음,
첨가 행렬 \([A – \lambda I | 0]\)을 가우스 소거법으로 해를 구해보면 자유변수와 나머지 종속변수들로
해가 나오게 됩니다. 일반적으로 자유변수를 제외한 나머지 벡터(고유공간의 기저)를 고유벡터로 표현됩니다.
특성다항식은 \(n \times n\) 행렬이면, 최대 차수가 \(n\)인 다항식이 된다는 것은 이미 배웠습니다.
하지만, 해가 반드시 \(n\)개라는 것은 아닙니다. 이런 “중근”의 형태는 “중복도”의 개념으로 관리하게 됩니다.
중복도는 “대수적 중복도”(Algebraic Multiplicity)와 “기하적 중복도”(Geometric Multiplicity)로 나뉘어
고유값(해)와 같이 취급합니다.
1). 대수적 중복도는 특성방정식의 해의 중복도로 정의합니다.
쉽게, 중근의 중첩 횟수를 해당 고유값의 대수적 중복도라고 할 수 있습니다.
2). 기하적 중복도는 특정 고유값의 고유공간의 차원의 수로 정의합니다.
쉽게, 어떤 고유값으로 값(고유공간)을 구했을 때, 나오는 자유변수의 개수가 기하적 중복도라고 할 수 있습니다.
이 대수적 중복도와 기하적 중복도는 항상 대수적 중복도\(\geq\)기하적 중복도 를 성립합니다.
다음은 고유값과 관련 된 성질 7가지를 나열 한 것입니다.
\(\lambda\)가 정사각행렬 \(A\)의 고유값이고, 벡터 \(x\)는 \(\lambda\)에 대응하는 고유벡터라고 정의한다면,
1). 상삼각행렬와 하삼각행렬의 고유값은 모든 대각성분입니다.
2). \(A\)가 가역행렬 이면, \(0\)은 \(A\)의 고유값이 아닙니다.
3). \(\forall n \in \mathbb{N} : \lambda^{n}\) 은 \(A^{n}\)의 고유값 , \(x\)는 \(\lambda^{n}\) 에 대응하는 고유벡터 입니다.
4). \(A\)가 가역행렬 이면, \(\frac{1}{\lambda}\) 는 \(A^{-1}\) 의 고유값 , \(x\)는 \(\lambda^{n}\) 에 대응하는 고유벡터 입니다.
5). \(A\)가 가역행렬 이면, \(\forall n \in \mathbb{Z} : \lambda^{n}\) 은 \(A^{n}\)의 고유값 ,
\(x\)는 \(\lambda^{n}\) 에 대응하는 고유벡터 입니다.
6). \(A\)의 고유값 \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m\)에 대응하는 각 고유벡터를 \(v_1, v_2, \ldots, v_m\)라고 정의한다면,
\(v_1, v_2, \ldots, v_m\) 은 서로 일차독립입니다.
7). 6)의 조건일 때, 벡터 \(x \in \mathbb{R}^n\) 이고, \(x = \Sigma^{m}_{i = 1}c_iv_i\) 이면,
\(A^{k}x = \Sigma^{m}_{i = 1}c_i \lambda_{i}^{k} v_i\) 가 성립합니다.
6.2. 닮음과 대각화
두 정사각행렬 \(A\)와 \(B\)가 존재할 때,
\(\exists P\):=가역행렬 : \(P^{-1}AP = B\) => \(A\)와 \(B\)는 “닮은 행렬”(Similar Matrix)이라고 정의하고 \(A \sim B\) 라고 표현합니다.
두 행렬이 닮음 관계라는 것은 선형변환 과정에서 두 행렬이 같은 형태로 변환 됨을 의미한다고 볼 수 있습니다.
즉, 다시 말해서 \(A\)와 \(B\)는 같은 고유값과 고유벡터의 각기 다른 행렬 표현들 이라고도 볼 수 있습니다.
세 정사각행렬 \(A, B, C\)가 존재 할 때, 다음 세 가지를 만족합니다.
1). \(A \sim A\) 입니다. ( 반사 관계와 유사 )
2). \(A \sim B\) => \(B \sim A\) 입니다. ( 대칭 관계와 유사 )
3). \(A \sim B \wedge B \sim C\) => \(A \sim C\) 입니다. ( 추이 관계와 유사 )
위의 세 가지를 만족하는 행렬들의 관계를 “동치 관계”(Equivalence Relation)라고 표현합니다.
두 정사각행렬 \(A\)와 \(B\)가 \(A \sim B\)이라면, 다음 7가지를 만족합니다.
1). \(det(A) = det(B)\)
2). \(A\)가 가역행렬 <=> \(B\)가 가역행렬
3). \(A\)의 계수(rank) = \(B\)의 계수
4). \(A\)의 특성다항식 = \(B\)의 특성다항식
5). \(A\)의 고유값 = \(B\)의 고유값
6). \(\forall m \in \mathbb{Z}^{+}\) : \(A^{m} \sim B^{m}\) ( \(\mathbb{Z}^{+}\)는 양의 정수 )
7). \(A\)와 \(B\)가 가역행렬 => \(\forall m \in \mathbb{Z}\) : \(A^{m} \sim B^{m}\)
정사각행렬 \(A\)가 대각행렬 \(D\)가 정의 될 때, \(A \sim D\) 일 때, ( 즉, \(\exists P\) : \(P^{-1}AP = D\) )
행렬 \(A\)는 “대각화 가능”(Diagonalizable)하다고 표현합니다.
어떤 행렬을 대각화 한다는 것은 많은 면에서 득을 볼 수 있습니다.
대각행렬의 이점을 대부분 얻을 수 있기 때문입니다.
( 예를 들어 연립방정식의 해를 구할 때도 1차 단항식으로 값을 구할 수 있습니다. )
추가로 대각화 관련한 추가 내용은 다음과 같습니다.
1). \(n \times n\) 행렬 \(A\)가 대각화 가능 <=> \(A\)가 \(n\)개의 일차독립인 고유벡터들을 가짐
( 즉, \(\exists\)\(( P\):=가역행렬, \(D\):=대각행렬\()\) : \(P^{-1}AP = D\) <=>
\(P\)의 각 열벡터가 \(A\)의 고유벡터들( \(n\)개이고 서로 일차 독립인 벡터들 )이 되고
\(D\)의 대각성분이 각 순서대로 \(P\)의 열벡터( 각 고유벡터 )에 대응하는 고유값이 됩니다. )
2). \(n \times n\) 행렬 \(A\)가 \(n\)개의 서로 다른 고유값을 가지면, \(A\)는 대각화 가능합니다.
3). 정사각행렬 \(A\)가 서로 다른 고유값 \(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k\) 를 가진다면,
\(A\)는 대각화 가능이고, 모든 각 고유값은 대수적 중복도 \(=\) 기하적 중복도 를 만족합니다.
6.3. 교유값 계산법과 응용
이전까지 고유값과 고유벡터를 구하는 방법으로 특성방정식만을 이용하여 풀어냈음을 다뤘었습니다.
아쉽지만, 현실에서는 특성방정식으로 해를 구하는 것은 일반적으로 굉장히 많은 연산을 요구하기도 하고
5차 이상의 다항방정식에는 근호가 없다는 사실이 특성방정식에도 적용되기 때문에 한계점이 다소 있는 방법입니다.
이번 장에서는 특성방정식을 직접적으로 쓰지 않고 고유값과 고유벡터를 구하는 방법에 대해서 다룰 예정입니다.
거듭제곱법
이동거듭제곱법
역거듭제곱법
게르시고린 정리
페론-프로베니우스정리
선형점화관계
연립선형미분방정식
이산선형동적시스템